高校入試対策 数学
12/21 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/21）は、毎週土曜日・日曜日に実施している「入試対策講習」を行いました。受験生たちは、数学と英語を中心に対策に取り組みました。
★円周角の利用
問題
下の図のように、半径１０cmの円Ｏの周上に３点Ａ、Ｂ、Cがある。∠ＢＡＣ＝７２°のとき、斜線部分の面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。
∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ
∠ＢＯＣ＝２×72°＝144°
おうぎ形の面積
π × 10² × 144/360
＝40π cm²
★相似と三平方の定理の利用
問題
下の図のような、長方形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝１１cm、ＢＣ＝８cmである。点Ｅは辺ＣＤ上の点で、ＣＥ＝６cmである。∠ＡＢＥの二等分線を引き、辺ＡＤとの交点をＦとするとき、線分ＤＦの長さは何cmですか。
ＢＦの延長線とＣＤの延長線との交点をＧとする
↓
△ＧＦＤ∽△ＧＢＣを利用する
ＡＢ//ＣＤより、
∠ＥＧＢ＝∠ＡＢＧ（錯角）①
ＦＢは角の二等分線だから
∠ＧＢＥ＝∠ＡＢＧ ②
①、②より、
∠ＥＧＢ＝∠ＧＢＥ
よって、
△ＥＢＧは二等辺三角形、ＢＥ＝ＧＥ
△ＢＣＥで三平方の定理より
ＢＥ²＝８²＋６²
ＢＥ²＝１００
ＢＥ＝１０
よって、
ＧＥ＝１０cm
△ＧＦＤと△ＧＢＣで、
ＦＤ//ＢＣより、
∠ＧＦＤ＝∠ＧＢＣ（同位角）
∠ＧＤＦ＝∠ＧＣＢ（同位角）
よって、△ＧＦＤ∽△ＧＢＣ
ＧＤ＝ＧＥ－ＥＤ＝５cm
ＧＣ＝ＧＤ＋ＣＤ＝１６cm
ＧＤ：ＧＣ＝ＦＤ：ＢＣだから、
５：１６＝ＦＤ：８
ＦＤ＝５／２
★二次関数 グラフ上の動点と相似
問題
下の図で、放物線はｙ＝ｘ²、ｙ＝ａｘ²のグラフであり、点Ａはｙ＝ｘ²のグラフ上に、点Ｂ、Ｃはｙ＝ａｘ²のグラフ上にある。３点Ａ、Ｏ、Ｂは１つの直線上にあり、直線ＢＣはｘ軸に平行な直線である。また、２点Ａ、Ｂのｘ座標はそれぞれー１、４である。さらに、ｙ＝ｘ²のグラフ上を動く点をＰとする。あとの各問いに答えなさい。
（１）
ａの値を求めなさい。
ｙ＝ｘ²に、点Ａのｘ＝ー１代入
ｙ＝１
点Ａ（ー１，１）
ＡＢの式は、点Ｏと点Ａを通るから、
ｙ＝ーｘ
ｙ＝ーｘに、点Ｂのｘ＝４代入
ｙ＝ー４
点Ｂ（４，－４）
点Ｂは、ｙ＝ａｘ²のグラフ上にあるから、
ｙ＝ａｘ²に、Ｂ（４，ー４）代入
１６ａ＝ー４
ａ＝ー１／４
（２）
ｙ＝ｘ²のグラフ上にｘ座標が３である点Ｄをとる。点Ｐがｙ＝ｘ²のグラフ上をＡからＤまで動くとき、点Ｐのｙ座標の最小値と最大値を求めなさい。
ｘの範囲 ー１≦ｘ≦３
ｙの最小値は０
ｙの最大値はｘ＝３のときだから、
ｙ＝ｘ²に、ｘ＝３を代入
ｙ＝９
ｙの最小値は９
（３）
点Ｐのｘ座標をｔとし、点Ｐからｘ軸にひいた垂線と直線ＡＢ、直線ＢＣとの交点をそれぞれＱ、Ｒとする。ただし、０＜ｔ＜４である。このとき、①、②に答えなさい。
①
△ＱＡＰと△ＱＢＲにおいて、ＱＡ：ＱＢ＝ＱＰ：ＱＲが成り立つとする。このとき、ＡＰ：ＢＲを最も簡単な整数の比で表しなさい。
２組の辺の比とその間の角（対頂角）が等しいから、
△ＱＡＰ∽△ＱＢＲ
よって、ＡＰ//ＢＲ
ＡＰはｘ軸と平行になるから、点Ｐのｙ座標は点Ａと同じ
ｙ＝ｘ²に、ｙ＝１代入
ｘ＝±１
０＜ｔ＜４より、点Ｐのｘ座標は１
ＡＰ＝１－（－１）＝２
点Ｒのｘ座標も点Ｐと同じ
ＢＲ＝４－１＝３
以上から、
ＡＰ：ＢＲ＝２：３
②
ＰＱ：ＱＲ＝３：１となるｔの値を求めなさい。
ＰＱとＱＲの距離は、点Ｐ、Ｑ、Ｒのｙ座標間の距離になる。
点Ｐのｘ座標はｔだから、
Ｐのｙ座標：ｔ²
Ｑのｙ座標：ーｔ
Ｒのｙ座標：ー４
ＰＱ
＝ｔ²ー（－ｔ）＝ｔ²＋ｔ
ＱＲ
＝ーｔ－（－４）
＝ーｔ＋４
（ｔ²＋ｔ）：（ーｔ＋４）＝３：１
ｔ²＋４ｔー１２＝０
（ｔ＋６）（ｔ－２）＝０
ｔ＝ー６，２
０＜ｔ＜４より、
ｔ＝２
★三角形の合同・証明
問題
下の図の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。対角線ＢＤ上にＢＥ＝ＥＦ＝ＦＤとなるように、点Ｅ、Ｆをとるとき、あとの各問いに答えなさい。
（１）
△ＡＢＥと△ＣＤＦが合同になることを証明しなさい。
証明
△ＡＢＥと△ＣＤＦで、
仮定より、
ＢＥ＝ＤＦ ①
ＡＢ＝ＣＤ ②
ＡＤ//ＢＣより、錯角が等しいから
∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ ③
①、②、③より、
２組の辺とその間の角が等しいから、
△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ
（２）
△ＡＢＥの面積が９cm²のとき、平行四辺形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
問題から、ＢＥ：ＤＥ＝１：２
△ＡＢＥと△ＡＤＥはそれぞれ高さが等しいから、
△ＡＢＥ：△ＡＤＥ＝１：２
△ＡＤＥの面積をｘcm²とすると、
１：２＝９cm²：ｘcm²
ｘ＝△ＡＤＥ＝18cm²
平行四辺形ＡＢＣＤ
＝（△ＡＢＥ＋△ＡＤＥ）×２
＝（９＋１８）×２
＝５４cm²
★三角形の合同の利用（角度）
問題
下の図のように、△ＡＢＣがあり、∠ＢＡＣは鋭角で、ＡＢ＜ＡＣである。△ＡＢＣと同じ平面上に２点Ｄ、Ｅを、△ＡＤＢと△ＡＣＥがともに正三角形となるようにとる。また、２点Ｃ、Ｄを通る直線と、２点Ｂ、Ｅを通る直線との交点をＦとする。∠ＡＤＣ＝２９°、∠ＢＥＣ＝４２°のとき、∠ＢＡＣと∠ＤＦＥの大きさをそれぞれ求めなさい。
△ＡＤＣと△ＡＢＥで、
仮定より、
ＡＤ＝ＡＢ ①
ＡＣ＝ＡＥ ②
また、
∠ＣＡＤ
＝∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＣ＝60°＋∠ＢＡＣ ③
∠ＥＡＢ
＝∠ＣＡＥ＋∠ＢＡＣ＝60°＋∠ＢＡＣ ④
③、④より、
∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＢ ⑤
①、②、⑤より、
２組の辺とその間の角が等しいから、
△ＡＤＣ≡△ＡＢＥ
△ＡＢＥで、
∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ＝29°
∠ＡＥＢ＝60°ー42°＝18°
三角形の内角の和より、
29°＋18°＋60°＋∠ＢＡＣ＝180°
∠ＢＡＣ＝73°
△ＥＣＦで、
∠ＥＣＦ
＝∠ＥＣＡ＋∠ＡＣＤ
＝60°＋18°＝78°
∠ＤＦＥは△ＥＣＦの外角だから、
∠ＤＦＥ
＝∠ＣＥＦ＋∠ＥＣＦ
＝42°＋78°
＝120°
👉円周角
👉相似
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塾生の声
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2024.12.22 高校入試対策 数学（12/21 授業解説）