- たむかい学習教室
- 2月26日
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高校入試対策 数学⑩
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
県立高入試まで残り１週間余りとなり、受験生たちは直前対策を行っています。数学では、たくさんの情報の中から必要な部分を抜き出して整理することや、計算過程に工夫を加えながら早く正確に処理することが求められます。
★体積についての方程式
下の図のように、三角錐ＡＢＣＤがあり、ＡＢ⊥ＢＣ、ＡＢ⊥ＢＤ、ＢＣ⊥ＢＤである。ＢＣ＝３cm、ＢＤ＝４cm、三角錐ＡＢＣＤの体積が８cm³であるとき、あとの各問いに答えなさい。
１）点ＰはＣＤ上を点ＣからＤまで動く。△ＡＢＰの面積がもっとも小さくなるとき、線分ＣＰの長さを求めなさい。
２）点Ｂから面ＡＣＤにひいた垂線と面ＡＣＤとの交点をＨとする。このとき、線分ＢＨの長さを求めなさい。
１）
ＢＰの長さがもっとも短くなる、ＢＰ⊥ＣＤになるときである（高さＡＢは変わらない）。
△ＢＣＤと△ＰＣＢで、
∠ＣＢＤ＝∠ＣＰＢ＝90°
∠ＢＣＤ＝∠ＰＣＢ（共通）
よって、△ＢＣＤ∽△ＰＣＢ
対応する辺の比は等しいから、
ＢＣ：ＰＣ＝ＣＤ：ＣＢ
３：ＰＣ＝５：３
ＰＣ＝ＣＰ＝９／５cm
２）
三角錐の底面を△ＢＣＤ、高さをＡＢとする。
△ＢＣＤ
＝３×４×１／２
＝６cm²
三角錐の体積は８cm³だから、
６×ＡＢ×１／３＝８
ＡＢ＝４cm
△ＡＤＢで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＡＢ：ＡＤ＝１：√２
４cm：ＡＤ＝１：√２
ＡＤ＝４√２cm ①
△ＡＣＢで、三平方の定理より、
ＡＣ＝５cm（３²＋４²＝５² ピタゴラス数）
ＡＣ＝ＣＤ＝５cmだから、△ＣＡＤは二等辺三角形になる。
点Ｃからの垂線と辺ＡＤとの交点をＨとする
ＡＨ＝４√２÷２＝２√２cm
ＣＨ²＝ＡＣ²ーＡＨ²
ＣＨ²＝５²ー（２√２）²
ＣＨ＝√17cm（ＣＨ＞０） ②
①、②より、
△ＡＣＤ
＝４√２×√17×１／２
＝２√34
三角錐の底面を△ＡＣＤ、高さをＢＨとする。
２√34×ＢＨ×１／３＝８
ＢＨ＝８×３／２√34
ＢＨ＝６√34／17cm
※ピタゴラス数
ａ²＋ｂ²＝ｃ² をみたす整数の組
３²＋４²＝５²
５²＋12²＝13²
７²＋24²＝25²
８²＋15²＝17²
「３，４，５」の倍数
６²＋８²＝10² （ｘ２）
９²＋12²＝15² （ｘ３）
12²＋16²＝20² （ｘ４）
15²＋20²＝25² （ｘ５）
※平方数
11²＝121 12²＝144 13²＝169 14²＝196 15²＝225 16²＝256 17²＝289 18²＝324 19²＝361 21²＝441 25²＝625
★辺の比と面積比
下の図のような平行四辺形ＡＢＣＤがある。点Ｅは辺ＢＣ上の点で、ＢＥ：ＥＣ＝１：２である。点Ｆは辺ＣＤの中点である。このとき、四角形ＡＥＣＦの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。
ＢＥ：ＥＣ＝１：２より、
△ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝１：２
※高さが等しい三角形どうしは、底辺比が面積比になる。
△ＡＣＥ＝△ＡＢＣ×２／３ ①
点Ｆは辺ＣＤの中点だから、
ＤＦ：ＦＣ＝１：１より、
△ＡＤＦ：△ＡＣＦ＝１：１
△ＡＣＦ＝△ＡＤＣ×１／２
△ＡＤＣ＝△ＡＢＣより、
△ＡＣＦ＝△ＡＢＣ×１／２ ②
①、②より、
四角形ＡＥＣＦ
＝△ＡＢＣ×２／３＋△ＡＢＣ×１／２
＝△ＡＢＣ×７／６
△ＡＢＣ＝▰ＡＢＣＤ×１／２より、
四角形ＡＥＣＦ
＝▰ＡＢＣＤ×１／２×７／６
＝▰ＡＢＣＤ×７／12
よって、７／12倍
★動点と関数
下の図のような長方形ＡＢＣＤがあり、点Ｍは辺ＡＤの中点である。点ＰはＡを出発して、辺上をＢ、Ｃを通ってＤまで秒速１cmで動く。点Ｐが動き始めてからｘ秒後における線分ＰＭと長方形ＡＢＣＤの辺で囲まれた図形のうち、点Ａを含む部分の面積をｙcm²とする。ただし、点ＰがＡにあるときはｙ＝０、点ＰがＤと重なるときはｙ＝40とする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。
点ＰがＢＣ上を動くとき、囲まれる図形は台形になる。
上底ＡＭ＝４cm
下底ＢＰ＝（ｘ－５）cm
※秒速１cmの点Ｐは、ｘ秒間にｘcm動くから、ＡＢの５cmを引いた長さが下底の長さになる。
高さＡＢ＝５cm
以上から、
ｙ＝（４＋ｘ－５）×５×１／２
ｙ＝５ｘ／２ー５／２
２）ｘとｙの関係を表すグラフとしてもっとも適するものを、次のア～エから１つ選びなさい。
０≦ｘ≦５（点ＰがＡＢ上）のとき
点Ｐ出発から５秒後の△ＡＢＭの面積は、ＡＢ＝５cm、ＡＭ＝４cmだから、
ｙ＝５×４×１／２＝10
よって、
ｘ＝５のとき、ｙ＝10 ①
５≦ｘ≦13（点ＰがＢＣ上）のとき
点Ｐ出発から13秒後の台形ＡＢＣＭは、１）の式より、
ｙ＝５×13／２ー５／２
ｙ＝30
よって、
ｘ＝13のとき、ｙ＝30 ②
①、②から、ア
★一次関数と二次関数
下の図で、①は関数ｙ＝ａｘ²のグラフである。２点Ａ、Ｂはそれぞれ①上にあり、点Ａのｘ座標はー３、点Ｂの座標は（６，４）である。②は２点Ａ、Ｂを通る直線であり、②とｙ軸との交点をＣとする。このとき、あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
１）ａの値を求めなさい。
２）直線②の式を求めなさい。
３）線分ＡＣと線分ＣＢの長さの比を求めなさい。
４）線分ＡＢの長さを求めなさい。
１）
点Ｂは①上にあるから、
ｙ＝ａｘ²に、（６，４）を代入
ａ×６²＝４
ａ＝１／９
２）
点Ａは①上にあるから、１）より、
ｙ＝１ｘ²／９に、ｘ＝ー３を代入
ｙ＝１×（ー３）²／９
ｙ＝１
Ａ（ー３，１） Ｂ（６，４）
ｘの増加量 ６－（－３）＝９
ｙの増加量 ４－１＝３
傾き ３／９＝１／３
切片の値をｂとする
ｙ＝１ｘ／３＋ｂに、（ー３，１）を代入
ー１＋ｂ＝１
ｂ＝２
よって、ｙ＝１ｘ／３＋２
３）
点Ａからの垂線とｙ軸との交点をＤとする。
点Ａを通りｘ軸に平行な直線と、点Ｂを通りｙ軸に平行な直線との交点をＥとする。
ＣＤ//ＢＥより、平行線の比から、
ＡＣ：ＣＢ＝ＡＤ：ＤＥ
ＡＤ＝０－（－３）＝３cm
ＤＥ＝６－０＝６cm
以上から、
ＡＣ：ＣＢ＝３：６＝１：２
４）
ＣＤ＝２－１＝１cm、ＡＤ＝３cm、∠ＡＤＣ＝90°
△ＡＣＤで、三平方の定理より、
ＡＣ²＝１²＋３²
ＡＣ＝√10cm（ＡＣ＞０）
３）より、ＡＢ＝３ＡＣだから、
ＡＢ＝３×√10＝３√10cm
★平面図形の相似
下の図のように、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通る円があり、∠ＢＣＤ＝90°、∠ＣＤＡは鋭角である。直線ＡＤと直線ＢＣとの交点をＥとする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）△ＡＥＢと△ＣＥＤが相似なることを証明しなさい。
２）ＢＣ＝ＥＢ＝４cm、ＣＤ＝６cmのとき、線分ＡＢの長さを求めなさい。
１）
△ＡＥＢと△ＣＥＤで、
共通な角だから、
∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＤ ①
仮定より、
∠ＢＣＤ＝90° ②
②より、ＢＤは円の直径だから、
∠ＢＡＤ＝90° ③
③より、
∠ＢＡＥ＝180°ー∠ＢＡＤ＝90° ④
②、④より、
∠ＢＡＥ＝ＤＣＥ ⑤
①、⑤より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＥＢ∽△ＣＥＤ
２）
辺ＥＤの長さを求める
ＥＣ＝８cm、ＣＤ＝６cm
△ＥＤＣで、三平方の定理より、
ＥＤ²＝ＥＣ²＋ＣＤ²
ＥＤ²＝８²＋６²
ＥＤ＝10cm（ＥＤ＞０）
１）より、対応する辺の比は等しいから、
ＡＢ：ＣＤ＝ＥＢ：ＥＤ
ＡＢ：６＝４：10
ＡＢ＝12／５cm
★立体図形の相似
下の図は、体積が54cm³の正四角錐ＯーＡＢＣＤである。点Ｅは辺ＯＡ上の点で、ＯＥ：ＥＡ＝２：１である。点Ｆ、Ｇ、Ｈはそれぞれ、点Ｅを通り、底面ＡＢＣＤに平行な平面と、辺ＯＢ、ＯＣ、ＯＤとの交点である。あとの各問いに答えなさい。
１）ＡＢ＝12cmのとき、線分ＥＦの長さを求めなさい。
２）正四角錐ＯーＡＢＣＤと正四角錐ＯーＥＦＧＨの表面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
３）正四角錐ＯーＡＢＣＤから正四角錐ＯーＥＦＧＨをのぞいた立体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを立体Ｘとする。このとき、立体Ｘの体積を求めなさい。
１）
ＥＦ//ＡＢより、
ＥＦ：ＡＢ＝ＯＥ：（ＯＥ＋ＥＡ）
ＥＦ：12cm＝２：３
ＥＦ＝８cm
２）
ＥＦ//ＡＢより、
△ＯＡＢ∽△ＯＥＦ
対応する辺の比は、
ＡＢ：ＥＦ＝12：８＝３：２
面積比は、辺の比（相似比）の２乗になるから、
ＯーＡＢＣＤ：ＯーＥＦＧＨ
＝９：４
３）
体積比は、相似比の３乗になるから、
２）より、
ＯーＡＢＣＤ：ＯーＥＦＧＨ
＝27：８
立体Ｘの体積比は、27－８＝19
よって、立体Ｘの体積は、
54cm³×19／27
＝38cm³
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2025.2.26 高校入試対策 数学⑩