- たむかい学習教室
- 2月25日
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高校入試対策 数学⑨
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
県立高入試まで残り２週間となり、受験生たちは入試対策を行っています。数学では、たくさんの情報の中から必要な部分を抜き出して整理することや、計算過程に工夫を加えながら早く正確に処理することが求められます。
★グラフ上の図形
下の図で、①は関数ｙ＝２ｘ²／３のグラフである。２点Ａ、Ｂは①上の点で、ｘ座標がそれぞれー３、２である。②は２点Ａ、Ｂを通る直線であり、②とｙ軸との交点をＣとする。また、点Ａを通りｙ軸に垂直な直線と①との交点のうち、点Ａと異なる点をＤとする。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
１）点Ａのｙ座標を求めなさい。
２）ＡＤの長さを求めなさい。
３）点Ｃのｙ座標を求めなさい。
４）四角形ＡＯＢＤの面積を求めなさい。
１）
点Ａは①上にあるから、
ｙ＝２ｘ²／３に、ｘ＝ー３を代入
ｙ＝２×（ー３）²／３
ｙ＝６
２）
直線ＡＤとｘ軸が平行だから、放物線①について、点ＡとＤは対称になる。
よって、Ｄのｘ座標は３
ＡＤの長さは、Ｄのｘ座標とＡのｘ座標の差になるから、
３－（－３）＝６cm
３）
点Ｂのｙ座標を求める
ｙ＝２ｘ²／３に、ｘ＝２を代入
ｙ＝８／３
Ａ（－３，６） Ｂ（２，８／３）
ｘの増加量 ２ー（ー３）＝５ ①
ｙの増加量 ８／３－６＝ー10／３ ②
傾きは、②÷①で求められるから、
ー10／３÷５
＝ー10／３×１／５
＝ー２／３
ＡＢの切片の値をｂとする
ｙ＝ー２ｘ／３＋ｂに、（ー３，６）を代入
２＋ｂ＝６
ｂ＝４
切片の値が、点Ｃのｙ座標になるから、
ｙ座標は４
４）
△ＡＢＤ＋△ＡＯＢで求める
△ＡＢＤの底辺をＡＤ、高さを点ＢからＡＤまでの距離とする。
ＡＤ＝６cm
高さは、点ＡとＤのｙ座標が６、Ｂのｙ座標が８／３だから、
６－８／３＝10／３cm
△ＡＢＤ
＝６×10／３×１／２
＝10cm² ①
△ＡＯＢは、ｙ軸で分けて求める（△ＡＯＣ＋△ＢＯＣ）。
△ＡＯＣ
＝４×３×１／２
＝６cm²
△ＢＯＣ
＝４×２×１／２
＝４cm²
△ＡＯＢ＝６＋４＝10cm² ②
四角形ＡＯＢＤの面積は、①＋②より、
10＋10＝20cm²
★対角線を引く
下の図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であり、点Ａはｙ軸上に、点Ｂ、Ｄは関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上に、点Ｃはｘ軸上にある。点Ｂの座標は（ー４，４）、点Ｃのｘ座標は４、点Ｄのｘ座標は８である。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
１）ａの値を求めなさい。
２）直線ＢＣの式を求めなさい。ただし、式をかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。
３）点Ａの座標を求めなさい。
４）平行四辺形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
１）
放物線上に点Ｂがあるから、
ｙ＝ａｘ²に（ー４，４）を代入
16ａ＝４
ａ＝１／４
２）
点Ｂ（ー４，４） Ｃ（４，０）
ｘの増加量 ４－（ー４）＝８
ｙの増加量 ０－４＝ー４
傾き ー４／８＝ー１／２
ＢＣの切片をｂとする
ｙ＝ー１ｘ／２＋ｂに、（４，０）を代入
ー２＋ｂ＝０
ｂ＝２
よって、ｙ＝ー１ｘ／２＋２
３）
ＡＤ//ＢＣより、直線ＡＤの傾きはＢＣと同じになる。
点Ｄのｙ座標を求める
ｙ＝１ｘ²／４に、ｘ＝８を代入
ｙ＝16
ＡＤの切片をｃとする
ｙ＝ー１ｘ／２＋ｃに、（８，16）を代入
ー４＋ｃ＝16
ｃ＝20
よって、（０，20）
４）
対角線ＡＣをひいて、△ＡＢＣの面積を求める。
※△ＡＢＣ×２＝平行四辺形ＡＢＣＤの面積
直線ＢＣとｙ軸との交点をＥとする
△ＡＢＥの底辺をＡＥ、高さを点ＢからＡＥまでの距離とする。
△ＡＢＥ
＝18×４×１／２＝36cm²
△ＡＣＥの高さを点Ｃからｙ軸までの距離とする。
△ＡＣＥ
＝18×４×１／２＝36cm²
△ＡＢＣ
＝△ＡＢＥ＋△ＡＢＣ
＝36＋36＝72cm²
平行四辺形ＡＢＣＤの面積は、
72×２＝144cm²
★図形の動点
青森県立高校入試（2018）
ア
ｘの増加量 ６－２＝４
ｘ＝２のとき、ｙ＝２
ｘ＝６のとき、ｙ＝18
ｙの増加量 18ー２＝16
変化の割合 16／４＝４
イ
点Ａを出発してから14秒後の点Ｐは、ＣＤ上にある。
点Ｑは点Ｄで止まったままになる。
ＰＤ＝18ー14＝４cm
ＡＤ＝６cm
よって、
ｙ＝４×６×１／２
ｙ＝12
ウ
点ＰがＡＢ上にあるとき（０≦ｘ≦６）
ｙ＝１ｘ²／２に、ｙ＝16を代入
１ｘ²／２＝16
ｘ²＝32
ｘ＝４√２（ｘ≧０）
点ＰがＣＤ上にあるとき（12≦ｘ≦18）
ＰＤ＝（18ーｘ）cm、ＡＤ＝６cmだから、
ｙ＝（18ーｘ）×６×１／２
ｙ＝ー３ｘ＋54
ｙ＝16のときだから、
ー３ｘ＋54＝16
ー３ｘ＝ー38
ｘ＝38／３
点ＰがＢＣ上にあるとき（６≦ｘ≦12）
底辺の長さ、高さが一定
ｙ＝６×６×１／２＝18になるから、問題に合わない。
よって、
ｘ＝４√２、38／３
★中点連結定理
下の図ように、ＡＢ＝４cm、ＢＣ＝６cmの△ＡＢＣがある。辺ＡＢの中点をＤ、辺ＢＣを３等分する点をＥ、Ｆ、辺ＡＣの中点をＧ、線分ＡＥとＢＧの交点をＨ、線分ＡＥとＤＧの交点をＩとする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）線分ＧＩの長さを求めなさい。
２）△ＡＢＣの面積は、△ＧＥＦの面積の何倍ですか。
３）ＡＨ：ＨＥを最も簡単な整数の比で表しなさい。
１）
点ＤとＧは、ＡＢとＡＣの中点になるから、点ＩはＡＥの中点になる。
△ＡＣＥで、中点連結定理より、
ＧＩ＝ＣＥ×１／２
ＣＥ
＝ＢＣ×２／３
＝６×２／３
＝４
よって、
ＧＩ＝４×１／２＝２cm
２）
ＡＧ＝ＣＧより、
△ＡＢＧ＝△ＣＢＧ
ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣより、
△ＣＢＧ＝３△ＧＥＦ
△ＡＢＣ＝２△ＣＢＧより、
△ＡＢＣ＝２×３ＧＥＦ＝６ＧＥＦ
よって、６倍
３）
点ＦはＣＥの中点になるから、
△ＣＡＥで、中点連結定理より、
ＧＦ＝ＡＥ×１／２ ①
点ＥはＢＦの中点になるから、
△ＢＦＧで、中点連結定理より、
ＨＥ＝ＧＦ×１／２
①より、
ＨＥ＝ＡＥ×１／２×１／２
ＨＥ＝ＡＥ×１／４ ②
②より、
ＡＨ：ＨＥ＝３：１
★数の規則性
１からはじまる自然数を、下のように規則正しく並べていく。たとえば、３行目４列目に並ぶ数は14である。あとの各問いに答えなさい。
１）次の文の㋐、㋑にあてはまる数を求めなさい。
５行目１列目に並ぶ数の17は、１行目４列目に並ぶ数の16より１大きい。
同じように考えて、10行目１列目に並ぶ数は、１行目９列目に並ぶ数の㋐より１大きいから、㋑である。
例えば、３行目と３列目に並ぶ数字を見ると、３行目１列目から１行目３列目まで「５，６，７，８，９」の順にＬ字形で並ぶことが分かる。「９」の次の「10」は４行目１列目にあり、そこから「10，11，・・，15，16」の順で同じように並ぶ。
また、１行目の数は「１，４，９，16，25・・」と並んでいるから、○列目の○²の数になることが分かる。
以上から、１行目９列目の数は、９²＝81、10行目１列目の数は、81の次になるから82
答え ㋐：81 ㋑：82
２）次のア、イの数を、ｎを用いた式で表しなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。
ア １行目ｎ列目に並ぶ数
イ ｎ行目１列目に並ぶ数
３）ｎ行目１列目に並ぶ数が122であるとき、ｎの値を求めなさい。
４）ｎ行目ｎ列目に並ぶ数は、ｎ行目１列目に並ぶ数よりどれだけ大きいか。ｎを用いた式で表しなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。
５）ｎ行目ｎ列目に並ぶ数が211になるとき、ｎの値を求めなさい。
２）ア
１）より、ｎ²
２）イ
ｎ行目１列目の数と、１行目ｎ列目の数の関係は、次の通りになる。
ｎ行目１列目 ・ １行目ｎ列目
２ ・ ４
５ ・ ９
10 ・ 16
17 ・ 25
このことから、ｎ行目１列目の数は、（ｎー１）²の数に１を加えた数になることが分かる。
よって、
（ｎー１）²＋１
＝ｎ²ー２ｎ＋１＋１
＝ｎ²ー２ｎ＋２
３）
２）から、
ｎ²ー２ｎ＋２＝122
ｎ²ー２ｎー120＝０
（ｎー12）（ｎ＋10）＝０
ｎ＞０より、ｎ＝12
４）
ｎ行目ｎ列目に並ぶ数は、ｎ行目１列目の数の関係は、次の通りになる。
ｎ行目ｎ列目・ｎ行目１列目
ｎ＝２のとき、３ ・ ２
ｎ＝３のとき、７ ・ ５
ｎ＝４のとき、13 ・ 10
ｎ＝５のとき、21 ・ 17
このことから、ｎ行目ｎ列目の数は、ｎ行目１列目の数に（ｎー１）を加えた数になることが分かる。
よって、ｎー１
５）
２）イと４）より、
（ｎ²ー２ｎ＋２）＋（ｎー１）＝211
ｎ²ーｎー210＝０
（ｎー15）（ｎ＋14）＝０
ｎ＞０より、ｎ＝15
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2025.2.25 高校入試対策 数学⑨