- たむかい学習教室
- 2月22日
- 読了時間: 8分
高校入試対策 数学⑧
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
県立高入試まで残り２週間余りとなり、受験生たちは入試対策を行っています。数学では、たくさんの情報の中から必要な部分を抜き出して整理することや、計算過程に工夫を加えながら早く正確に処理することが求められます。
★三角柱と三角錐
下の図の三角柱ＡＢＣＤＥＦの底面は∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝90°の直角三角形で、ＡＢ＝３cm、ＢＣ＝４cm、ＡＣ＝５cm、ＡＤ＝６cmである。辺ＡＢ、ＡＤの中点をそれぞれＰ、Ｑとするとき、立体ＣＰＱＤの体積を求めなさい。
三角錐ＣＰＱＤの底面を△ＰＤＱ、高さをＣＢとする。
△ＰＤＱの底辺をＱＤ、高さをＰＡとすると、
ＱＤ＝３cm、ＰＡ＝３／２cmだから、
△ＰＤＱ
＝３×３／２×１／２
＝９／４cm²
三角錐ＣＰＱＤ
＝△ＰＤＱ×ＣＢ×１／３
＝９／４×４×１／３
＝３cm³
★三角形の面積
下の図のように、関数ｙ＝ａ／ｘ・・㋐のグラフ上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがある、点Ａの座標は（ー１，８）、点Ｂの座標は（ー４，２）、点Ｃのｘ座標は２である。また、２点Ａ、Ｂを通る直線をℓとする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）直線ℓの式を求めなさい。
２）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
１）
ｘの増加量 ー１－（ー４）＝３
ｙの増加量 ８－２＝６
傾き ６／３＝２
切片の値をｂとする
ｙ＝２ｘ＋ｂに、（ー１，８）を代入
ー２＋ｂ＝８
ｂ＝10
よって、ｙ＝２ｘ＋10
２）
点Ｃを通りｘ軸と平行な直線と、直線ℓとの交点をＤとする。
ａの値を求める
ｙ＝ａ／ｘに、（ー１，８）を代入
ａ＝ー８
点Ｃのｙ座標を求める
ｙ＝ー８／ｘに、ｘ＝２を代入
ｙ＝ー４
点Ｄの座標を求める
点Ｄのｙ座標は、Ｃと同じになるからー４
ｙ＝２ｘ＋10に、ｙ＝ー４を代入
２ｘ＋10＝ー４
ｘ＝ー７
△ＡＣＤの面積を求める
底辺をＣＤ、高さを点Ａと辺ＣＤとの距離とする。
ＣＤ＝２－（－７）＝９
高さは、８－（－４）＝12
△ＡＣＤ
＝９×12×１／２
＝54
△ＢＣＤの面積を求める
底辺をＣＤ、高さを点ＢをＣＤとの距離とする。
高さは、２－（－４）＝６
△ＢＣＤ
＝９×６×１／２
＝27
△ＡＢＣ＝△ＡＣＤ－△ＢＣＤより、
△ＡＢＣ＝54ー27＝27
★三角形の面積
下の図で、①は関数ｙ＝ａ／ｘのグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点で、点Ａの座標は（ー２，12）、点Ｂのｘ座標は６である。②は２点Ａ、Ｂを通る直線であり、②とｙ軸との交点をＣとする。③は関数ｘ＝ー８のグラフであり、③と①との交点をＤとする。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。
１）ａの値を求めなさい。
２）直線②の式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。
３）点Ｄを通り直線②に平行な直線の式を求めなさい。ただし、式はかっこをはずしたもっとも簡単な形で表すこと。
４）点Ｄと点Ｂ、Ｃをそれぞれ線分で結ぶとき、△ＢＣＤの面積を求めなさい。
１）
点Ａは①上の点だから、ｙ＝ａ／ｘに、（ー２，12）を代入
ーａ／２＝12
ａ＝ー24
２）
点Ｂのｙ座標を求める
点Ｂは①上の点だから、
ｙ＝ー24／ｘに、ｘ＝６を代入
ｙ＝ー24／６＝ー４
２点Ａ、Ｂを通る式
（ー２，12）（６，－４）
ｘの増加量 ６ー（－２）＝８
ｙの増加量 ー４ー12＝ー16
傾き ー16／8＝ー２
切片の値をｂとする
ｙ＝ー２ｘ＋ｂに（６，－４）を代入
ー12＋ｂ＝ー４
ｂ＝８
よって、ｙ＝ー２ｘ＋８
３）
点Ｄのｙ座標を求める
点Ｄは①上の点だから、
ｙ＝ー24／ｘに、ｘ＝ー８を代入
ｙ＝ー24／ー８
ｙ＝３
求める直線の式は、②の傾きと同じ
切片の値をｄとする
ｙ＝－２ｘ＋ｄに、（ー８，３）を代入
16＋ｄ＝３
ｄ＝ー13
よって、ｙ＝ー２ｘ－13
４）
直線ＢＤとｙ軸との交点をＥとする
点Ｅは、ＢＤの式の切片になるから、直線ＢＤの式を求める。
Ｂ（６，－４） Ｄ（ー８，３）
ｘの増加量 ６－（－８）＝14
ｙの増加量 ー４－３＝ー７
傾き ー７／14＝ー１／２
切片の値をｅとする
ｙ＝ー１ｘ／２＋ｅに、（６，－４）を代入
ー３＋ｅ＝ー４
ｅ＝ー１
△ＣＤＥの底辺をＣＥ、高さを点Ｄとｙ軸との距離とする。
△ＣＤＥ
＝９×８×１／２
＝36cm²
△ＣＢＥの底辺をＣＥ、高さを点Ｂとｙ軸との距離とする。
△ＣＢＥ
＝９×６×１／２
＝27cm²
△ＢＣＤ＝△ＣＤＥ＋△ＣＢＥより、
△ＢＣＤ＝36＋27＝63cm²
★文字を使った座標
下の図において、点Ａの座標は（２，ー６）であり、①は、点Ａを通り、ｘの変域がｘ＞０であるときの反比例のグラフである。また、②は、関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞１）のグラフである。２点Ｂ、Ｃは、放物線②上の点であり、そのｘ座標は、それぞれー４、３である。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）曲線①をグラフとする関数について、ｙをｘの式で表しなさい。
２）点Ｄの座標は（２，８）であり、直線ＡＤと直線ＢＣとの交点をＥとする。点Ｂを通りｙ軸に平行な直線と直線ＡＯとの交点をＦとする。直線ＤＦが四角形ＢＦＡＥの面積を２等分するときの、ａの値を求めなさい。
１）
曲線①の式を、ｙ＝ｂ／ｘとする。
点Ａは①上にあるから、
ｙ＝ｂ／ｘに、（２，－６）を代入
ｂ／２＝ー６
ｂ＝ー12
よって、ｙ＝ー12／ｘ
２）
四角形ＢＦＡＥは台形になる
※ＢＦ//ＡＥ、高さは点Ｂから直線ＡＥとの距離
ＢＦ（上底）の長さを求める
点Ｂのｙ座標
ｙ＝ａｘ²に、ｘ＝ー４を代入
ｙ＝16ａ ①
点Ｆのｙ座標
ＡＯの式は、ｙ＝ー３ｘ
ｙ＝ー３ｘに、ｘ＝ー４を代入
ｙ＝12 ②
ＢＦ＝①ー②より、
ＢＦ＝16ａー12 ③
ＡＥ（下底）の長さを求める
直線ＢＣの式
点Ｃのｙ座標は、
ｙ＝ａｘ²にｘ＝３を代入
ｙ＝９ａ
Ｂ（ー４，16ａ） Ｃ（３，９ａ）
ｘの増加量 ３－（－４）＝７
ｙの増加量 ９ａー16ａ＝ー７ａ
傾き ー７ａ／７＝ーａ
切片をｂとする
ｙ＝ーａｘ＋ｂに、（３，９ａ）を代入
ー３ａ＋ｂ＝９ａ
ｂ＝12ａ
点Ｅのｙ座標
ｙ＝ーａｘ＋12ａに、ｘ＝２を代入
ｙ＝ー２ａ＋12ａ
ｙ＝10ａ
点Ａのｙ座標はー６だから、
10ａー（－６）
＝10ａ＋６ ④
高さは点Ｂから直線ＡＥとの距離は、
２－（ー４）＝６ ⑤
③、④、⑤より、台形ＢＦＡＥの面積は、
（16ａー12＋10ａ＋６）×６×１／２
＝３（26ａー６）
△ＡＤＦの面積
底辺をＡＤ、高さを点Ｆから直線ＡＥまでの距離とする。
ＡＤ＝８－（ー６）＝14
高さは、２－（－４）＝６
△ＡＤＦ
＝14×６×１／２
＝42
台形ＢＦＡＥ×１／２＝△ＡＤＦより、
３（26ａー６）／２＝42
26ａー６＝28
26ａ＝34
ａ＝17／13
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2025.2.22 高校入試対策 数学⑧