- たむかい学習教室
- 2月21日
- 読了時間: 8分
高校入試対策 数学⑦
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
県立高入試まで残り２週間余りとなり、受験生たちは入試対策を行っています。数学では、たくさんの情報の中から必要な部分を抜き出して整理することや、計算過程に工夫を加えながら早く正確に処理することが求められます。
★表面積と体積（円錐・円柱・球）
下の図１は、底面の円の半径が３cmの円錐と円柱を組み合わせた立体で、円錐の高さは４cm、母線の長さは５cmである。また、図２は、半径が３cmの球である。このとき、あとの各問いに答えなさい。ただし、円周率はπとする。
１）図２の球の表面積を求めなさい。
２）図１の立体と図２の体積が等しいとき、図１の立体の表面積を求めなさい。
１）
球の体積の公式より、
π ×３³×４／３＝36π cm³
２）
円錐の体積
π ×３²×４×１／３
＝12π cm³ ①
円柱の高さをｈcmとする
円柱の体積
π ×３²×ｈ
＝９πｈ cm³ ②
①＋②＝36π より、
12π ＋９πｈ＝36π
４＋３ｈ＝12
ｈ＝８／３cm ③
図１の表面積は、円錐の側面積（おうぎ形）＋円柱の側面積（長方形）＋底面積（円）になる。
円錐の側面積
おうぎ形の弧の長さは、
２π ×３＝６π cm
弧の長さ×母線×１／２で求められるから、
６π ×５×１／２
＝15π cm² ④
円柱の側面積
横の長さは、底面の円周と同じだから、
２π ×３＝６π cm
③より、縦の長さは８／３cm
６π ×８／３＝16π cm² ⑤
底面積
π ×３²＝９π cm² ⑥
④＋⑤＋⑥より、
15π＋16π＋９π
＝40π cm²
★半球の体積と円柱の高さ
半径６cmの半球の形をした容器に水をいっぱいに入れ、この容器と底面が合同である円柱の容器に注いでみたところ、円柱の４分の１まで入った。円柱の高さを求めなさい。
半球の体積は、半径６cmの球の１／２の体積になる。
半径６cmの球の体積は、
π ×６³×４／３
＝288π cm³
半球の体積は、
288π ×１／２
＝144π cm³ ①
円柱の高さをｘcmとすると、水が入った部分の高さは１ｘ／４cmになる。
水が入った部分の体積は、
π ×６²×１ｘ／４
＝９πｘ cm³ ②
半球の底面と円柱の底面は合同だから、①＝②より、
９πｘ＝144π
ｘ＝16 cm
★三角形の合同
下の図のように、ＡＤ//ＢＣ、∠Ｃ＝∠Ｄ＝90°の台形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＣＤ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆがあり、ＥＦ//ＢＣ、ＥＦ＝ＥＢである。また、点Ｇは線分ＡＥ上にあり、ＢＧ＝ＢＣである。点Ｆと点Ｂ、点Ｇをそれぞれ結ぶとき、あとの各問いに答えなさい。
１）△ＢＣＦ≡△ＢＧＦであることを証明しなさい。
２）ＡＥ＝ＥＢ＝7.5cm、ＤＦ＝ＦＣ＝６cm、ＢＣ＝12cmのとき、次のア、イに答えなさい。
ア 線分ＡＧの長さを求めなさい。
イ △ＧＥＦの面積を求めなさい。
１）
△ＢＣＦと△ＢＧＦにおいて、
仮定から
ＢＣ＝ＢＧ ①
平行線の錯角は等しいから、
∠ＣＢＦ＝∠ＥＦＢ ②
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠ＥＦＢ＝∠ＧＢＦ ③
②、③より、
∠ＣＢＦ＝∠ＧＢＦ ④
共通な辺だから、
ＢＦ＝ＢＦ ⑤
①、④、⑤より、
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＢＣＦ≡△ＢＧＦ
２）ア
１）より、
ＧＢ＝ＢＣ＝12cm
ＡＢ
＝ＡＥ＋ＥＢ
＝7.5＋7.5＝15cm
ＡＧ
＝ＡＢーＧＢ
＝15ー12＝３cm
２）イ
１）より、
∠ＦＧＢ＝∠ＦＣＢ＝90°
ＦＧ＝ＦＣ＝６cm
ＧＥ
＝ＡＥーＡＧ
＝7.5ー３＝4.5cm
△ＧＥＦ
＝ＦＧ×ＧＥ×１／２
＝６×4.5×１／２
＝13.5cm²
★三角形の合同
下の図のように、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの辺ＢＣの延長線上に、ＡＣ＝ＤＢとなる点Ｄがある。また、辺ＡＢ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｅ、Ｆがあり、∠ＥＤＢ＝∠ＦＡＣである。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）△ＡＦＣと△ＤＥＢが合同になることを証明しなさい。
２）ＡＦ⊥ＢＤ、ＡＦ＝12cm、ＡＥ＝８cm、ＣＤ＝３cmのとき、△ＡＢＣの面積を求めなさい。
１）
△ＡＦＣと△ＤＥＢにおいて、
仮定より、
ＡＣ＝ＤＢ ①
∠ＦＡＣ＝∠ＥＤＢ ②
△ＡＢＣは、二等辺三角形だから、
∠ＡＣＦ＝∠ＤＢＥ ③
①、②、③より、
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＦＣ≡△ＤＥＢ
２）
△ＡＢＣは、二等辺三角形だから、
ＡＦ⊥ＢＤより、ＢＦ＝ＣＦ ④
１）より、
ＣＦ＝ＢＥ＝ｘcmとすると、
④より、ＢＦ＝ｘcm
∠ＡＦＢ＝90°だから、△ＡＢＦで、三平方の定理より、
ＡＦ²＋ＢＦ²＝ＡＢ²
12²＋ｘ²＝（ｘ＋８）²
ｘ＝５cm
ＢＣ＝10cmとなるから、
△ＡＢＣ
＝10×12×１/２
＝60cm²
★動点と関数
下の図１で、四角形ＡＢＣＤはＡＤ//ＢＣ、∠Ｃ＝∠Ｄ＝90°の台形で、ＢＣ＝24cm、ＣＤ＝８cmである。点Ｐは頂点Ｂを出発して、辺ＢＣ上を毎秒３cmの速さで頂点Ｃまで進み、頂点Ｃに着くとすぐに折り返して毎秒３cmの速さで頂点Ｂに向かう。また、点Ｑは点Ｐと同時に頂点Ｂを出発して、辺ＢＣ上を毎秒１cmの速さで頂点Ｃに向かう。点Ｐと点Ｑは、出会った地点で停止する。点Ｐと点Ｑが頂点Ｂを同時に出発してからｘ秒後の△ＡＱＰの面積をｙcm²とするとき、あとの各問いに答えなさい。
１）点Ｐが頂点Ｃに着くときのｘの値を求めなさい。
２）点Ｐと点Ｑが出会うときのｘの値を求めなさい。
３）次の場合について、それぞれｙをｘの式で表しなさい。ただし、式はかっこをはずした最も簡単な形で表すこと。なお、ｘの変域は示さなくてよい。
ア 点Ｐと点Ｑが頂点Ｂを同時に出発してから、点Ｐが頂点Ｃに着くまで
イ 点Ｐが頂点Ｃを出発してから、点Ｐと点Ｑが出会うまで
１）
点Ｐは毎秒３cmでＢからＣに動くから、
ｘ＝24÷３＝８
２）
ＢＱ＋ＣＰ＝24のとき、点ＰとＣが出会うことになる。
点Ｑは毎秒１cmの速さで動くから、
ＢＱ＝ｘcm ①
毎秒３cmの点Ｐは、Ｃから折り返したあとになるから、
ＣＰ＝（３ｘ－24）cm ②
①＋②＝24より、
（３ｘ－24）＋ｘ＝24
４ｘ＝48
ｘ＝12
３）ア
△ＡＱＰの底辺ＰＱは、ＢＰーＢＱで求められる。
頂点Ｂを出発してからのＢＰの長さは、３ｘcm
頂点Ｂを出発してからのＢＱの長さは、ｘcm
ＰＱ
＝３ｘ－ｘ
＝２ｘcm
よって、
ｙ＝２ｘ ×８×１/２
ｙ＝８ｘ
３）イ
△ＡＱＰの底辺ＰＱは、２４－（ＣＰ＋ＢＱ）で求められる。
点ＰがＣから折り返したあとのＣＰの長さは、（３ｘ－24）cm
ＰＱ
＝24ー（３ｘー24＋ｘ）
＝（48ー４ｘ）cm
よって、
ｙ＝（48ー４ｘ）×８×１/２
ｙ＝ー16ｘ＋192
４）下の図２のように、点Ｐと点Ｑが頂点Ｂを同時に出発してから７秒後に、△ＡＱＰはＡＱ＝ＡＰの二等辺三角形になった。このとき、ア、イの各問いに答えなさい。
ア 点Ｐと点Ｑ頂点Ｂを同時に出発してから７秒後の、△ＡＱＰの面積を求めなさい。
イ 辺ＡＤの長さを求めなさい。
４）ア
１）と２）より、同時に出発してから７秒後は、ｙ＝８ｘのときになる。
よって、
ｙ＝８×７＝56cm²
４）イ
点Ａからの垂線と辺ＰＱとの交点をＲとする
ＢＰ＝21cm、ＢＱ＝７cmより、
ＱＰ＝14cm
ＱＲ＝ＱＰ×１/２より、
ＱＲ＝７cm
ＢＲ＝ＢＱ＋ＱＲ＝14cm
ＲＣ＝ＢＣ－ＢＲ＝10cm
ＡＲ//ＤＣ、ＡＲ＝ＤＣより、ＡＤ＝ＲＣ
よって、
ＡＤ＝10cm
入試対策・練習問題
2025年度・塾生募集
【たむかい学習教室】
完全1対1 個別指導
受講開始のご予約は今がチャンス！
完全マンツーマン指導の当塾では、新学期からの受講枠に限りが出てまいります。受講開始のご予約、入塾に関するご相談は、ぜひこの機会に当塾までお問い合わせください。
対象：中学生・高校生、小学４～６年生
★「充実度Ｎｏ.１」★
完全１対１の個別指導
『１対１で分かるまで教えてほしい!!』
『成績アップと志望校合格をめざしたい!!』
多くの生徒さんや親御さんのご期待に、本当の意味でお応えできるよう、当塾では「生徒一人に教師一人」の授業で、塾生の学習を本格的にサポートしております。
塾生のホンネ
「数学や英語が苦手。何から始めたらいい？」
「長い問題文が苦手。どうしたらいい？」
「学校の授業で難しいことが増えてきた」
「受験が不安。テスト成績を上げていきたい」
完全１対１授業でホンネを解決！
★苦手の克服に最適★
★受験に強い個別指導★
★経験豊富な講師の一貫指導★
★苦手の克服に最適★
５教科対応で、各教科苦手にしている学習内容を、完全マンツーマンで指導いたします。弱点を着実に克服でき、「わかる・できる」自信につながります。学校の授業が定着しやくすなり、テストの成績アップも期待できます。
★受験に強い個別指導★
入試の出題範囲は多岐にわたり、受験までの期間には、十分な対策時間と学習量が必要になります。受験に向けて、対策時間と学習量をしっかりと確保できるのは、完全１対１授業の強みです。
★経験豊富な講師の一貫指導★
経歴２０年の講師が確かなノウハウで、難解な内容もわかりやすく丁寧に指導いたします。初めて受講した生徒さんからも「分かりやすい」と好評です。常に、「生徒の腑に落ちる指導」に努めております。
安心の授業料で本格サポート
★入塾費・高額教材なし★
★お支払いは授業料のみ★
★入塾費・高額教材なし★
入塾費や高額な教材費はございません。また、授業料以外にいただく追加料金も一切ございません。費用の面でも安心して頼れる教室を目指しております。
★お支払いは授業料のみ★
ご入塾後は、毎月お支払いいただく授業料のみで受講いただけます。
＜１か月授業料（税込）＞
90分授業：14,800円（月4回）
120分授業：17,600円（月4回）
(例)１回・90分授業の場合
教師１名・生徒３名の複数指導
→１名につき30分の個別指導
指導時間は3分の1、実質料金は割高に。
↕
教師1名・生徒1名の完全個別指導
⇒完全90分の個別指導（当塾）
生徒1名に100％の指導時間
親御さんの声
「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」
「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」
「成績の伸び幅と年間の費用を考えると、転塾して正解でした」
合格実績（開塾２年 2023-24）
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生32名（2025年2月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
（小学６年）
今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
お申し込み・お問い合わせ
ご相談はお気軽にお尋ねください
電話番号
050-3637-1500
電話受付 10:00-21:00
フォームからは24時間受付
住所
イオン田向店から車で１分
【周辺道路 車での所要時間】
八戸大野線
三陸道是川IC２分
パークホテル５分
八戸環状線
八戸道八戸IC８分
四本松交差点８分
島守八戸線
是川縄文館５分
是川支所７分
2025.2.21 高校入試対策 数学⑦