- たむかい学習教室
- 2月19日
- 読了時間: 7分
高校入試対策 数学⑥
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
３月の県立高入試まで残り３週間となり、中３受験生たちは入試対策を行っています。たくさんの情報の中から必要な部分を抜き出して整理することや、計算過程に工夫を加えながら早く正確に処理することが求められます。
★直方体と三角錐
下の図のように、直方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがあり、ＡＢ＝６cm、ＡＤ＝８cm、ＡＥ＝12cmである。辺ＢＦ上に点Ｐを、∠ＢＡＰ＝∠ＢＦＣとなるようにとる。あとの各問いに答えなさい。
１）直方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの表面積を求めなさい。
２）線分ＢＰの長さを求めなさい。
３）４点Ａ、Ｆ、Ｇ、Ｐを結んでできる三角錐ＡＦＧＰの体積を求めなさい。
１）
底面積８cm×６cmの長方形が２つ
側面積12cm×８cmの長方形が２つ
側面積12cm×６cmの長方形が２つ
よって、
８×６×２＋12×８×２＋12×６×２
＝96＋192＋144
＝432cm²
２）
△ＡＢＰと△ＦＢＣで、
∠ＢＡＰ＝∠ＢＦＣ ①
∠ＡＢＰ＝∠ＦＢＣ＝90° ②
①、②より、△ＡＢＰ∽△ＦＢＣ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＢ：ＦＢ＝ＢＰ：ＢＣ
６：12＝ＢＰ：８
１：２＝ＢＰ：８
２ＢＰ＝８
ＢＰ＝４cm
３）
△ＡＦＰを底面、高さをＧＦとする。
ＢＰ＝４cmより、ＦＰ＝８cm
△ＡＦＰ
＝８×６×１／２
＝24cm²
ＧＦ＝８cm
三角錐の体積は、
24×８×１／３＝64cm³
★四角柱と動点・中点連結定理
下の図のような、１辺の長さが４cmの正方形を底面とし、高さが６cmの直方体ＡＢＣＤ・ＥＦＧＨがあり、辺ＡＥ上にＡＩ＝４cmとなる点Ｉをとる。点Ｐは頂点Ｂを出発して毎秒１cmの速さで、辺ＢＦ上を頂点Ｆまで動く。ＩＰ＋ＰＧの長さが最も短くなるのは、点Ｐが頂点Ｂを出発してから何秒後か求めなさい。
展開図にすると、直角三角形ＩＧＥができるときになる。
ＥＦ＝ＦＧ、ＩＥ//ＰＦだから、中点連結定理より、
ＰＦ＝ＩＥ×１／２
ＩＥ＝ＡＥ－ＡＩ＝２cm
以上から、ＰＦ＝１cm
ＰＦ＝１cmのとき、ＢＰ＝５cm
点Ｐは毎秒１cmの速さで動くから、点Ｂを出発してから５秒後
★補助線をひく・三平方の定理
下の図のように、正三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上にＢＤ：ＤＣ＝１：２となる点Ｄをとり、頂点Ａが点Ｄと重なるように折り返すと、折り目は辺ＡＢ上の点Ｅと辺ＡＣ上の点Ｆを結ぶ線分ＥＦとなった。ＢＣ＝12cm、ＣＦ＝５cmのとき、三角形ＤＥＦの面積を求めなさい。
△ＥＢＤと△ＤＣＦで、
△ＡＢＣは正三角形だから、
∠ＥＢＤ＝∠ＤＣＦ＝60° ①
三角形の内角と外角の関係より、
∠ＥＤＣ
＝∠ＥＢＤ＋∠ＢＥＤ
＝60°＋∠ＢＥＤ ②
∠ＥＤＦ＝∠Ａ＝60°だから、
∠ＥＤＣ
＝∠ＥＤＦ＋∠ＣＤＦ
＝60°＋∠ＣＤＦ ③
②、③より、
∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ ④
①、④より、△ＥＢＤ∽△ＤＣＦ
対応する辺の比は等しいから、
ＢＤ：ＣＦ＝ＥＤ：ＤＦ ⑤
ＢＤ＝12×１／３＝４cm
△ＡＦＥ≡△ＤＦＥより、ＡＦ＝ＤＦ
ＡＦ＝ＣＡ－ＣＦ＝７cm
⑤より、
４：５＝ＥＤ：７
ＥＤ＝28／５cm ⑥
点Ｆからの垂線と辺ＤＥとの交点をＧとする
∠ＥＤＦ＝60°、∠ＦＧＤ＝90°だから、
△ＦＧＤで、直角三角形の辺の比より、
ＤＦ：ＦＧ＝２：√３
７cm：ＦＧ＝２：√３
ＦＧ＝７√３／２cm ⑦
⑥、⑦より、
△ＤＥＦ
＝28／５×７√３／２×１／２
＝49√３／５cm²
★相似の証明
∠ＢＣＡ＝90°の直角三角形について、あとの各問いに答えなさい。
１）図１のように、∠ＡＢＣの二等分線と辺ＡＣの交点をＤとし、点Ｃを通り、ＤＢに平行な直線と、辺ＡＢを延長した直線との交点をＥとする。このとき、ＢＡ：ＢＣ＝ＡＤ：ＤＣとなることを証明しなさい。
証明
ＤＢ//ＣＥより、平行線の同位角は等しいから、
∠ＡＢＤ＝∠ＢＥＣ ①
仮定より、
∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ ②
①、②より、
∠ＢＥＣ＝∠ＤＢＣ ③
平行線の錯角は等しいから、
∠ＤＢＣ＝∠ＢＣＥ ④
③、④より、
∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ
△ＢＥＣは二等辺三角形だから、
ＢＥ＝ＢＣ ⑤
△ＡＥＣにおいて、ＤＢ//ＣＥより、
ＡＢ：ＢＥ＝ＡＤ：ＤＣ ⑥
⑤、⑥より、
ＢＡ：ＢＣ＝ＡＤ：ＤＣ
２）図２のように、辺ＡＢの垂直二等分線と辺ＡＢ、ＢＣとの交点をそれぞれＭ、Ｎとする。ＡＢ＝10、ＣＡ＝５とするとき、△ＡＢＣと△ＮＢＭの面積比を求めなさい。
△ＡＢＣと△ＮＢＭで、
∠ＡＣＢ＝∠ＮＭＢ＝90° ①
∠ＡＢＣ＝∠ＮＢＭ（共通） ②
①、②より、△ＡＢＣ∽△ＮＢＭ
△ＡＢＣで、三平方の定理より、
ＢＣ²＝ＡＢ²ーＡＣ²
ＢＣ²＝10²ー５²
ＢＣ²＝75
ＢＣ＝５√３（ＢＣ＞０）
点Ｍは辺ＡＢの中点より、ＢＭ＝５
△ＡＢＣと△ＮＢＭで、対応する辺の比より、
ＢＣ：ＢＭ＝５√３：５＝√３：１
面積比は、相似比の２乗だから、
△ＡＢＣ：△ＮＢＭ
＝√３²：１²
＝３：１
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八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中 福地中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
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2025.2.19 高校入試対策 数学⑥