- たむかい学習教室
- 2月18日
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高校入試対策 数学⑤
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
３月の県立高入試まで残り３週間となり、中３受験生たちは入試対策を行っています。たくさんの情報の中から必要な部分を抜き出して整理することや、計算過程に工夫を加えながら早く正確に処理することが求められます。
★グラフ上の図形・正方形
下の図のように、関数ｙ＝１ｘ²／４・・①のグラフと直線ℓが２点Ａ、Ｂで交わり、点Ａ、Ｂのｘ座標はー６、４である。直線ℓ上にｘ座標がｔである点Ｃをとり、点Ｃを通り、ｙ軸に平行な直線と①のグラフの交点をＤ、点Ｄを通り、ｘ軸に平行な直線と①のグラフの交点をＥとし、長方形ＣＤＥＦをつくる。ただし、０＜ｔ＜４とする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）直線ℓの式を求めなさい。
２）線分ＣＤの長さを、ｔを用いて表しなさい。
３）長方形ＣＤＥＦが正方形となるとき、点Ｃの座標を求めなさい。
１）
点Ａは①上にあるから、ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝ー６を代入
ｙ＝１×（－６）²／４＝９
点Ｂは①上にあるから、ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝４を代入
ｙ＝１×４²／４＝４
Ａ（ー６，９） Ｂ（４，４）
ｘの増加量 ４－（－６）＝10
ｙの増加量 ４－９＝ー５
傾き ー５／10＝ー１／２
直線ℓの切片の値をｂとする
ｙ＝ー１ｘ／２＋ｂに、（４，４）を代入
ー１×４／２＋ｂ＝４
ｂ＝６
よって、ｙ＝ー１ｘ／２＋６
２）
点Ｃはℓ上にあるから、ｙ＝ー１ｘ／２＋６にｘ＝ｔを代入
ｙ＝ー１ｔ／２＋６ ①
点Ｄのｘ座標は、点Ｃと同じ
点Ｄは①上にあるから、ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝ｔを代入
ｙ＝１ｔ²／４ ②
線分ＣＤの長さは、①ー②より、
ー１ｔ／２＋６ー１ｔ²／４
＝ー１ｔ²／４ー１ｔ／２＋６
３）
正方形になるのは、ＥＤ＝ＣＤのときになる。
点Ｅのｘ座標は、Ｄと対称だからｘ＝ーｔ
よって、ＥＤ＝２ｔ
２ｔ＝ー１ｔ²／４ー１ｔ／２＋６
ｔ²＋10ｔー24＝０
（ｔ＋12）（ｔ－２）＝０
０＜ｔ＜４より、ｔ＝２
点Ｃの座標は、（ｔ、ー１ｔ／２＋６）だから、
（２，５）
★グラフ上の図形・三角形と台形
右の図のように、２つの関数ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）・・①、ｙ＝ー３ｘ²・・②のグラフがある。①のグラフ上にｘ座標が正である点Ａがある。点Ａを通り、ｘ軸に平行な直線と①のグラフとの交点をＢとする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）ａ＝２とする。点Ａのｙ座標が８のとき、点Ａと点Ｂとの距離を求めなさい。
２）①について、ｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合が、１次関数ｙ＝ｘ＋２において、ｘの値がー１から２まで増加するときの変化の割合に等しいとき、ａの値を求めなさい。
３）ａ＝１／３とし、点Ａのｘ座標を３とする。②のグラフ上にｘ座標が１である点Ｃをとる。点Ｃを通り、ｘ軸に平行な直線と②のグラフとの交点をＤとする。線分ＡＢ上に点Ｐをとると、△ＰＢＤと四角形ＡＰＤＣの面積の比が１：２になった。このときのＰのｘ座標を求めなさい。
１）
ｙ＝２ｘ²に、ｙ＝８を代入
２ｘ²＝８
ｘ²＝４
ｘ＝±２
点Ａのｘ座標は２、点Ｂのｘ座標はー２だから、
２－（－２）＝４
２）
ｙ＝ａｘ²について
ｘの増加量 ３－１＝２
ｙの増加量 ９ａーａ＝８ａ
変化の割合 ８ａ／２＝４ａ ①
ｙ＝ｘ＋２の変化の割合は１（常に一定） ②
①＝②より、
４ａ＝１
ａ＝１／４
３）
４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの座標を求める
点Ａ
ｙ＝１ｘ²／３にｘ＝３を代入
ｙ＝３
Ａ（３，３）
点Ｂ
ＢはＡと対称な点だから、
Ｂ（ー３，３）
点Ｃ
ｙ＝ー３ｘ²にｘ＝１を代入
ｙ＝ー３
Ｃ（１，－３）
点Ｄ
ＤはＣと対称な点だから、
Ｄ（ー１，－３）
求める点Ｐのｘ座標をｔとする
△ＰＢＤにおいて、
底辺ＢＰは、ｔー（－３）ｔ＋３
高さは、３－（－３）＝６
△ＰＢＤ
＝（ｔ＋３）×６×１／２
＝３ｔ＋９ ①
四角形ＡＰＤＣは、ＡＰ//ＣＤより、台形になる。
上底は、３－ｔ
下底は、１－（－１）＝２
高さは、３－（－３）＝６
四角形ＡＰＤＣ
＝（３－ｔ＋２）×６×１／２
＝15ー３ｔ ②
①：②＝１：２より、
（３ｔ＋９）：（15ー３ｔ）＝１：２
15ー３ｔ＝６ｔ＋18
ー９ｔ＝３
ｔ＝ー１／３
よって、点Ｐのｘ座標はー１／３
★青森県立高校入試（2023年）
１）ア
点Ａは①上にあるから、ｙ＝１ｘ²／２にｘ＝２を代入
ｙ＝１×２²／２＝２
ｙ＝２
１）イ
ＡＢ＝６cmより、点Ａのｙ座標は６
ｙ＝ａｘ²にｘ＝２、ｙ＝６を代入
４ａ＝６
ａ＝３／２
２）ア
ＢＣ＝ＣＤより、傾きは１
直線ＢＤの切片の値をｂとする
ｙ＝ｘ＋ｂに、点Ｂの（２，０）を代入
２＋ｂ＝０
ｂ＝ー２
よって、ｙ＝ｘ－２
２）イ
点Ｅを通り、ＢＤに平行な直線の式を求める。
点Ｅは、ｙ＝ａｘ²にｘ＝ー１を代入すると、（ー１，ａ）
ＢＤに平行だから傾きは１
切片の値をｃとする
ｙ＝ｘ＋ｃに、点Ｅの（ー１，ａ）を代入
ー１＋ｃ＝ａ
ｃ＝ａ＋１
ｙ＝ｘ＋ａ＋１の式とｘ軸との交点をＦとする
点Ｆは、ｙの値が０だから、ｙ＝ｘ＋ａ＋１にｙ＝０を代入
ｘ＋ａ＋１＝０
ｘ＝ーａー１
ＢＤ//ＥＦより、△ＢＤＥ＝△ＢＤＦ
△ＢＤＦの底辺をＢＦとする
ＢＦ＝２－（－ａー１）
＝（ａ＋３）cm ①
点Ｄのｙ座標は、点Ａと同じだから４ａ
高さＣＤは、４ａ cm ②
①、②より、
（ａ＋３）×４ａ×１／２＝80
ａ²＋３ａー40＝０
（ａ＋８）（ａー５）＝０
ａ＞０より、
ａ＝５
★円周角・接線・三平方の定理
下の図は、点Ｏを中心とする円で、線分ＡＢは円の直径である。点Ｃは円周上の点であり、点Ｄは線分ＢＣ上にあって、∠ＣＡＢ＝∠ＤＯＢである。また、点Ｅは線分ＯＤを延長した直線と、点Ｂにおける円の接線との交点である。ＡＢ＝10cm、ＢＣ＝８cmのとき、あとの各問いに答えなさい。
１）線分ＡＣの長さを求めなさい。
２）線分ＢＥの長さを求めなさい。
１）
直径ＡＢに対する円周角だから、∠ＡＣＢ＝90°
△ＡＢＣで、三平方の定理より、
ＡＣ²＝ＡＢ²ーＢＣ²
ＡＣ²＝10²ー８²
ＡＣ²＝36
ＡＣ＝６cm（ＡＣ＞０）
２）
直線ＥＢは円の接線だから、∠ＯＢＥ＝90°
△ＡＢＣと△ＯＥＢで、
∠ＣＡＢ＝∠ＤＯＢ ①
∠ＡＣＢ＝∠ＯＢＥ＝90° ②
①、②より
△ＡＢＣ∽△ＯＥＢ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＣ：ＯＢ＝ＣＢ：ＢＥ
６：５＝８：ＢＥ
６ＢＥ＝40
ＢＥ＝20／３ cm
★三角錐・三平方の定理
下の図は、ＡＢ＝ＢＣ＝６cm、∠ＡＢＣ＝90°の直角二等辺三角形ＡＢＣを底面とし、ＢＤ＝12cmを高さとする三角錐である。また、２点Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＣ、辺ＢＤの中点である。このとき、２点Ｅ、Ｆ間の距離を求めなさい。
△ＡＢＣで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＡＢ：ＡＣ＝１：√２
６cm：ＡＣ＝１：√２
ＡＣ＝６√２cm
ＡＥ＝ＡＣ×１／２だから
ＡＥ＝３√２cm
∠ＡＢＥ＝45°、∠ＡＥＢ＝90°より、△ＡＢＥは直角二等辺三角形だから、ＡＥ＝ＢＥ
△ＦＥＢで、∠ＦＢＥ＝90°
三平方の定理より、
ＦＥ²＝ＦＢ²＋ＢＥ²
ＦＥ²＝６²＋（３√２）²
ＦＥ²＝54
ＦＥ＝３√６cm（ＦＥ＞０）
入試対策・練習問題
👉円の接線
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2025.2.18 高校入試対策 数学⑤