- たむかい学習教室
- 2月17日
- 読了時間: 6分
高校入試対策 数学④
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
中３受験生は私立入試を終えて、今週から３月の県立高入試に向けた対策を始めています。
★合同な三角形・三平方の定理
下の図のように、ＡＢ＝ＢＣ＝６cmの直角三角形ＡＢＣを、頂点Ａが辺ＢＣの中点Ｍに重なるように折った。折り目の直線と辺ＡＢとの交点をＤとする。このとき、ＢＤの長さを求めなさい。
求めるＢＤの長さをｘcmとする
ＡＢ＝６cmより、ＡＤ＝（６－ｘ）cm
ＡＤ＝ＤＭより、ＤＭ＝（６－ｘ）cm
ＢＭ＝ＢＣ×１／２＝３cm
△ＢＭＤで、三平方の定理より、
ｘ²＋３²＝（６－ｘ）²
ｘ²＋９＝36ー12ｘ＋ｘ²
12ｘ＝27
ｘ＝９／４cm
★円の接線
下の図で、円Ｐ、Ｑは直線ℓにそれぞれ点Ａ、Ｂで接している。円Ｐ、Ｑの半径がそれぞれ４cm、２cmで、ＰＱ＝５cmのとき、線分ＡＢの長さを求めなさい。
ℓは円の接線だから、ＰＡ⊥ℓ、ＱＢ⊥ℓになる。
点Ｑからの垂線とＰＡとの交点をＲとする
∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＱＲＡ＝90°だから、∠ＲＱＢ＝90°
これより、四角形ＡＲＱＢは長方形になる。
ＡＲ＝ＢＱ＝２cmより、ＲＰ＝２cm
△ＰＱＲで、三平方の定理より、
ＱＲ²＝ＰＱ²ーＲＰ²
ＱＲ²＝５²ー２²
ＱＲ²＝21
ＱＲ＝√21cm（ＱＲ＞０）
四角形ＡＲＱＢは長方形だから、ＱＲ＝ＡＢ
よって、ＡＢ＝√21cm
★三角柱・三平方の定理
下の図のような三角柱があり、ＡＢ＝４cm、ＢＣ＝２cm、ＣＦ＝５cm、∠ＤＥＦ＝90°である。また、辺ＡＢ、ＤＦの中点をそれぞれＰ、Ｑとし、点Ｐと点Ｑを結ぶ。線分ＰＱの長さを求めなさい。
点Ｑからの垂線とＡＣとの交点をＲとする
点ＲはＡＣの中点だから、中点連結定理より、
ＰＲ＝ＢＣ×１／２＝１cm
また、ＱＲ＝ＦＣ＝５cm
△ＰＱＲで、三平方の定理より、
ＰＱ²＝ＱＲ²＋ＰＲ²
ＰＱ²＝５²＋１²
ＰＱ²＝26
ＰＱ＝√26cm（ＰＱ＞０）
★円周角の定理
下の図で、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは円Ｏの円周上にあり、ＢＣは円Ｏの中心を通る。ＢＡ、ＣＤを延長し交わった点をＥとする。あとの各問いに答えなさい。
１）△ＥＢＤと△ＥＣＡが相似になることを証明しなさい。
２）∠ＢＥＤ＝45°、ＢＣ＝６cmのとき、ＡＤの長さを求めなさい。
１）
△ＥＢＤと△ＥＣＡにおいて、
共通な角だから、
∠ＢＥＤ＝∠ＣＥＡ ①
Ａ⌒Ｄに対する円周角だから、
∠ＥＢＤ＝∠ＥＣＡ ②
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＥＢＤ∽△ＥＣＡ
２）
直径ＢＣに対する円周角だから、
∠ＢＤＣ＝90°
∠ＢＤＥ＝180°ー∠ＢＤＣ＝90°
△ＢＤＥで、
∠ＤＢＥ
＝180°ー（∠ＢＥＤ＋∠ＢＤＥ）
＝45°
Ａ⌒Ｄに対する中心角ＡＯＤは、∠ＤＢＥの２倍になるから、
∠ＡＯＤ＝90°
ＯＡ＝ＯＤ＝３cm（半径）より、△ＯＡＤは直角二等辺三角形になる。
△ＯＡＤで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＯＡ：ＡＤ＝１：√２
３cm：ＡＤ＝１：√２
ＡＤ＝３√２cm
★グラフ上の動点
下の図のように、関数ｙ＝１ｘ²／４のグラフ上に、ｘ座標がそれぞれー３、６となる点Ａ、Ｂをとる。また、点Ａ、Ｂからｘ軸に垂線をひき、ｘ軸との交点をＣ、Ｄとする。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）２点Ｂ、Ｃを通る直線の式を求めなさい。
２）関数ｙ＝１ｘ²／４のグラフ上を点Ａから点Ｂまで動く点をＰとする。△ＰＣＤの面積が、△ＢＣＤの面積の１／２になるとき、点Ｐの座標を求めなさい。
１）
点Ｂはｙ＝１ｘ²／４上にあるから、ｘ＝６を代入
ｙ＝１×６²／４＝９
点Ｂ（６，９） Ｃ（ー３，０）
ｘの増加量 ６－（ー３）＝９
ｙの増加量 ９－０＝９
傾き ９／９＝１
切片をｂとし、ｙ＝ｘ＋ｂに（ー３，０）を代入
ー３＋ｂ＝０
ｂ＝３
よって、ｙ＝ｘ＋３
２）
△ＰＣＤと△ＢＣＤは共通な底辺をもつから、△ＰＣＤの高さが△ＢＣＤの１／２になればよい。
点Ｐからの垂線と底辺ＣＤとの交点をＱとする
ＢＤ＝９より、ＰＱ＝９／２
よって、点Ｐのｙ座標は９／２
点Ｐはｙ＝１ｘ²／４上にあるから、ｙ＝９／２を代入
１ｘ²／４＝９／２
ｘ²＝18
ｘ＝±３√２
ー３≦ｘ≦６より、ｘ＝３√２
よって、
（３√２，９／２）
入試対策・練習問題
👉円の接線
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2025.2.17 高校入試対策 数学④