- たむかい学習教室
- 2月14日
- 読了時間: 8分
高校入試対策 数学③
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
中３受験生は私立入試を終えて、今週から３月の県立高入試に向けた対策を始めています。
★立方体と三角錐
下の図のような、１辺の長さが６cmの立方体を、３点Ｂ、Ｄ、Ｅを通る平面で切る。このとき、あとの各問いに答えなさい。
１）∠ＤＥＢの大きさを求めなさい。
２）△ＤＥＢの面積を求めなさい。
３）頂点Ａから△ＤＥＢにひいた垂線ＡＰの長さを求めなさい。
１）
△ＢＤＥの３辺は、すべて正方形の対角線だから、
ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＢ
△ＢＤＥは正三角形だから、
∠ＤＥＢ＝60°
２）
△ＡＢＤで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＡＢ：ＢＤ＝１：√２
６cm：ＢＤ＝１：√２
ＢＤ＝６√２cm ①
点Ｂからの垂線と辺ＤＥとの交点をＩとする
ＤＩ＝ＥＩより、
ＤＩ＝６√２÷２＝３√２
△ＢＤＩで、
ＢＩ²＝ＢＤ²ーＤＩ²
ＢＩ²＝（６√２）²ー（３√２）²
ＢＩ²＝54
ＢＩ＝３√６cm（ＢＩ＞０） ②
①、②より、
△ＤＥＢ
＝６√２×３√６×１／２
＝18√３ cm²
３）
底面を△ＡＢＤ、高さをＡＥとする三角錐の体積を求める。
△ＡＢＤ
＝６×６×１／２
＝18cm²
三角錐の体積は、
18×６×１／３＝36cm³
底面を△ＤＥＢ、高さをＡＰとする三角錐の体積と等しいから、
18√３×ＡＰ×１／３＝36
６√３ＡＰ＝36
ＡＰ＝６／√３
ＡＰ＝２√３cm
★直方体とひし形
下の図は、ＡＢ＝３cm、ＡＤ＝１cm、ＡＥ＝４cmの直方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨである。辺ＤＨ、ＢＦ上にそれぞれＤＰ＝ＱＦ＝１cmとなる点Ｐ、Ｑをとる。４点Ｃ、Ｐ、Ｅ、Ｑを通る平面でこの直方体を切断したとき、切り口の四角形ＣＰＥＱの面積を求めなさい。
△ＱＦＥ、△ＣＢＱ、△ＰＤＣ、△ＥＨＰはすべて合同な三角形になるから、
ＱＥ//ＣＰ、ＱＥ＝ＣＰ ①
ＣＱ//ＰＥ、ＣＱ＝ＰＥ ②
①、②より、
四角形ＣＰＥＱはひし形になる。
対角線ＣＥ×ＰＱによって求める。
△ＧＥＦで、三平方の定理より、
ＧＥ²＝ＧＦ²＋ＦＥ²
ＧＥ²＝１²＋３²
ＧＥ²＝10
ＧＥ＝√10cm（ＧＥ＞０）
△ＣＥＧで、三平方の定理より、
ＣＥ²＝ＣＧ²＋ＧＥ²
ＣＥ²＝４²＋√10 ²
ＣＥ²＝26
ＣＥ＝√26cm（ＣＥ＞０）①
点Ｈから高さ１cmにある点をＲとする（下図）
ＰＨ＝ＤＨ－ＤＰ＝３cm
ＰＲ＝ＰＨ－ＲＨ＝２cm
ＲＱ＝ＧＥ＝√10cm
△ＰＱＲで、三平方の定理より、
ＰＱ²＝ＰＲ²＋ＲＱ²
ＰＱ²＝２²＋√10 ²
ＰＱ²＝14
ＰＱ＝√14cm（ＰＱ＞０）②
①×②より、
√26×√14×1/2
＝√2×√13×√2×√7×1/2
＝2√91×1/2
＝√91cm²
★糸の最短距離・三角錐
下の図は、ＡＣ＝ＢＣ＝２cm、∠ＡＣＢ＝90°の直角二等辺三角形ＡＢＣを底面とし、ＣＤ＝２cmを高さとする三角錐で、点Ｅは辺ＡＤの中点である。この三角錐の表面上に、点Ｂから辺ＣＤと交わるように、点Ｅまで線をひく。ひいた線の長さがもっとも短くなるときの線の長さを求めなさい。
線分ＢＣは、展開図上で直線になる（下図）
辺ＣＤを高さとするから、∠ＡＣＤ＝90°
ＡＣ＝ＣＤだから、△ＡＣＤは直角二等辺三角形になる。
△ＡＣＤで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＡＣ：ＡＤ＝１：√２
２cm：ＡＤ＝１：√２
ＡＤ＝２√２cm
点ＥはＡＤの中点だから、
ＤＥ＝√２cm
また、△ＡＣＤは直角二等辺三角形だから、
∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝45°
△ＡＣＤ≡△ＢＣＤより、
∠ＣＤＡ＝∠ＣＤＢ＝45°
よって、
∠ＢＤＡ＝∠ＣＤＡ＋∠ＣＤＢ＝90°
ＡＤ＝ＢＤ＝２√２cm
△ＢＤＥで、三平方の定理より、
ＢＥ²＝ＢＤ²＋ＤＥ²
ＢＥ²＝（２√２）²＋（√２）²
ＢＥ²＝10
ＢＥ＝√10 cm（ＢＥ＞０）
★糸の最短距離・円錐
図１のように、底面の直径ＡＢと母線の長さＰＡについてＡＢ＝ＰＡ＝４cmの円錐がある。あとの各問いに答えなさい。
１）この円錐の側面の展開図はおうぎ形になる。そのおうぎ形の中心角を求めなさい。
中心角は、
360°×底面の半径／母線の長さ で求められる。
360°×２／４＝180°
別解
おうぎ形の弧は、底面の円周と等しいから、２π ×２＝４π cm
半径４cm（おうぎ形の半径）の円周は、２π ×４＝８π cm
おうぎ形は、円全体８πのうちの４πにあたる部分だから、
360°×４π／８π
＝360°×１／２
＝180°
２）図２のように、線分ＰＢの中点をＣとし、この円錐の表面に、点Ａから点Ｃまで、ひもをゆるまないようにかける。ひもの長さが最も短くなるとき、その長さを求めなさい。
１）から、おうぎ形は「半円」になる。
ひもの長さが最も短くなるのは、展開図上で辺ＡＣが直線になるとき（下図）
△ＡＣＰで、三平方の定理より、
ＡＣ²＝ＡＰ²＋ＰＣ²
ＡＣ²＝４²＋２²
ＡＣ²＝20
ＡＣ＝２√５ cm（ＡＣ＞０）
★回転体の体積
下の図は、１辺が３cmの正方形と直角三角形を組み合わせたものである。この図形を、直線ℓを軸として１回転させてできる立体について、あとの各問いに答えなさい。
１）この立体の体積を求めなさい。
２）この立体の表面積を求めなさい。
１）
「三角錐の体積＋円錐の体積」
三角錐の体積
底面積 π ×３²＝９π cm²
高さ ７－３＝４cm
９π ×４×１／３＝12π cm³ ①
円錐の体積
底面積 ９π cm²
高さ ３cm
９π ×３＝27π cm³ ②
①＋②より、
12π ＋ 27π ＝39π cm³
２）
「円錐の側面積＋円柱の側面積＋円柱の底面積」
円錐の側面積（おうぎ形）
弧の長さは、底面の円周と等しいから、
２π ×３＝６π cm
弧の長さ×母線の長さ×１／２より、
６π ×５×１／２
＝15π cm² ①
円柱の側面積（長方形）
縦の長さは、円柱の高さだから、３cm
横の長さは、底面の円周と等しいから、６π cm
３×６π ＝18π cm² ②
円柱の底面積
π ×３²＝９π cm² ③
①＋②＋③より、
15π ＋18π ＋９π ＝42π cm²
★合同と三平方の定理
下の図のように、長方形ＡＢＣＤを対角線ＡＣで折り、頂点Ｂが移動した点をＢ’、ＡＤとＢ’Ｃの交点をＥとする。長方形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝６cm、ＢＣ＝10cmとするとき、ＡＥの長さを求めなさい。
△ＡＢＣ≡△ＡＢ’Ｃより、
∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＡ ①
ＡＤ//ＢＣより、錯角が等しいから、
∠ＡＣＢ＝∠ＥＡＣ ②
①、②より、
∠ＥＣＡ＝∠ＥＡＣ ③
③より、△ＥＡＣは二等辺三角形だから、
ＡＥ＝ＣＥ
△ＡＥＢ’≡△ＣＥＤより、
Ｂ’Ｅ＝ＤＥ
ＡＥ＝ＣＥ＝ｘcm、Ｂ’Ｅ＝ＤＥ＝（10ーｘ）cmとする。
△ＣＥＤで、三平方の定理より、
ＣＥ²＝ＣＤ²＋ＤＥ²
ｘ²＝６²＋（10ーｘ）²
ｘ²＝36＋100ー20ｘ＋ｘ²
20ｘ＝136
ｘ＝34／５cm
入試対策・練習問題
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2025.2.14 高校入試対策 数学③