平面図形と立体図形
（中学数学 1/22授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（1/22）は、 中学１～３年生に数学の平面図形と立体図形について解説しました。いろいろな問題を解きながら、図形の見方に慣れていくことが大切になります。
★角度を求める問題
問題
下の図で、∠ｘの大きさを求めなさい。
解き方①（下図）
○＋●
＝360°ー（20°＋40°＋110°＋90°）
＝100°
∠ｘ＝180°ー（○＋●）
∠ｘ＝180°ー100°＝80°
解き方②（下図）
点Ｃからひく延長線と辺ＡＤとの交点をＥ
四角形ＡＢＣＥで、
∠ＡＥＣ
＝360°ー（90°＋110°＋40°）
＝120°
∠ＤＥＣ＝60°
三角形の内角と外角の関係より、
∠ｘ＝60°＋20°＝80°
問題
下の図のように、∠ＢＡＣ＝42°、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがあり、辺ＡＣ上にＡＤ＝ＢＤとなる点Ｄをとる。このとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
ＡＢ＝ＡＣより、
∠ＡＢＣ＝（180°ー42°）÷２＝69°
ＡＤ＝ＢＤより、
∠ＡＢＤ＝42°
∠ｘ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ
∠ｘ＝69°ー42°＝27°
問題
下の図のように、ＡＢを直径とする半円Ｏの周上に２点Ｑ、Ｒがあり、ＱＲを延長した直線とＡＢを延長した直線の交点をＰとする。ＲＯ＝ＲＰ、∠ＲＰＢ＝28°であるとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
ＲＯ＝ＲＰより、
∠ＲＯＰ＝28°
△ＲＯＰの内角と外角の関係より、
∠ＯＲＱ＝28°＋28°＝56°
ＯＲ＝ＯＱ（半径）より、
∠ＯＱＲ＝56°
△ＯＱＲの内角と外角の関係より、
∠ｘ＝28°＋56°＝84°
問題
下の図において、△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＣ＝30°の二等辺三角形である。また、△ＰＱＣは、ＰＣ//ＡＢとなるように、△ＡＢＣを、点Ｃを中心として回転移動させたものである。∠ｘの大きさを求めなさい。
ＡＢ＝ＡＣより、
∠ＡＣＢ＝（180°ー30°）÷２＝75°
△ＰＱＣ≡△ＡＢＣより、
∠ＰＣＱ＝∠ＡＣＢ＝75°
ＰＣ//ＡＢより、
∠ＰＣＡ＝∠ＱＡＣ＝30°（錯角）
∠ｘ＝∠ＰＣＱ－∠ＰＣＡ
∠ｘ＝75°ー30°＝45°
問題
下の図で、点Ｃは線分ＡＢ上の点であり、△ＤＡＣと△ＥＣＢは、それぞれ線分ＡＣと線分ＣＢを１辺とする正三角形である。∠ＥＡＣ＝ａ°とするとき、∠ＤＢＣの大きさをａを用いた式で表しなさい。
△ＡＣＥと△ＤＣＢで、
ＡＣ＝ＤＣ、ＥＣ＝ＢＣ
∠ＡＣＤ＝60°、∠ＢＣＥ＝60°より、
∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ＝120°
以上から、△ＡＣＥ≡△ＤＣＢ
△ＤＣＢで、
∠ＢＤＣ＝∠ＥＡＣ＝ａ°、∠ＢＣＤ＝120°
∠ＤＢＣ
＝180°ー（∠ＢＤＣ＋∠ＢＣＤ）
＝180°ー（ａ°＋120°）
＝60°ーａ°
問題
下の図のような∠ＡＢＣ＝60°の平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＢＣ上に∠ＡＥＢ＝40°となるように点Ｅをとり、∠ＤＡＥの二等分線と辺ＣＤとの交点をＦとする。∠ＡＦＤの大きさを求めなさい。
平行四辺形の対角は等しいから
∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＣ＝60°
平行線の錯角は等しいから
∠ＣＡＤ＝∠ＡＥＢ＝40°
∠ＤＡＦ＝∠ＣＡＦ＝20°
∠ｘ＝180°ー（∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ）
∠ｘ＝180°ー（60°＋20°）＝100°
★辺の長さを求める問題
問題
下の図のように、ＡＢ＝３cm、ＢＣ＝４cmの平行四辺形があり、辺ＡＤ上に点Ｅ、辺ＢＣ上に点Ｆ、辺ＣＤ上に点ＧをそれぞれＡＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝１cmとなるようにとる。また、線分ＥＦと線分ＡＣとの交点をＨ、線分ＥＦと線分ＢＧとの交点をＩとする。このとき、線分ＨＩの長さを求めなさい。
ＡＥ＝ＢＦより、ＡＢ//ＥＦ
△ＡＢＣと△ＨＦＣで、
∠ＣＡＢ＝∠ＣＨＦ（同位角）
∠ＣＢＡ＝∠ＣＦＨ（同位角）
よって、△ＡＢＣ∽△ＨＦＣ
対応する辺の比から、
ＡＢ：ＨＦ＝ＣＢ：ＣＦ
３：ＨＦ＝４：３
ＨＦ＝９／４ cm ①
また、ＤＣ//ＥＦより、
△ＢＣＧ∽△ＢＦＩ
ＧＣ：ＩＦ＝ＢＣ：ＢＦ
２：ＩＦ＝４：１
ＩＦ＝１／２ cm ②
ＨＩ＝①ー②より、
ＨＩ＝９／４－１／２＝７／４ cm
問題
下の図のようなＡＤ//ＢＣの台形ＡＢＣＤがある。線分ＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、直線ＥＦとＣＤの交点をＧとする。ＡＤ＝ｘcm、ＢＣ＝ｙcm、ＥＧ＝３cmとするとき、ｘとｙの関係を表すグラフを、次の㋐～㋓から1つ選びなさい。
ＣＧ＝ＤＧ、ＣＦ＝ＡＦより、
ＦＧ//ＡＤ
中点連結定理より、
ＦＧ：ＡＤ＝１：２
ＦＧ：ｘ＝１：２
ＦＧ＝１ｘ／２ cm ①
ＡＥ＝ＢＥ、ＡＦ＝ＣＦより、
ＥＦ//ＢＣ
中点連結定理より、
ＥＦ：ＢＣ＝１：２
ＥＦ：ｙ＝１：２
ＥＦ＝１ｙ／２ cm ②
①＋②＝ＥＧより、
１ｘ／２＋１ｙ／２＝３
１ｙ／２＝ー１ｘ／２＋３
ｙ＝ーｘ＋６
よって、㋒
問題
下の図のような円錐の形のチョコレートがある。このチョコレートの８分の１の量をもらえることになり、底面と平行に切って頂点のあるほうをもらうことにした。母線の長さを８cmとすると、頂点から母線にそって何cmのところを切ればよいか、求めなさい。
もらえる量が全体の８分の１だから、もらえる量と全体の量の体積比は１：８
よって、相似比（長さの比）は１：２
※体積比は相似比の３乗
底面と平行に切るから、頂点から母線にそって２分の１のところで切る。
よって、８cm×１／２＝４cm
★面積や体積を求める問題
問題
下の図の円柱の表面積と体積をそれぞれ求めなさい。
表面積＝底面積＋側面積
底面積（円２つ分）
π×４²×２＝32π cm² ①
側面積（長方形）
横の長さは円周の長さと同じ
円周 ２π×４＝８π cm
縦 10 cm × 横８π cm
＝80π cm² ②
表面積は、①＋②より、
32π＋80π＝112π cm²
柱の体積＝底面積×高さ
底面積（円１つ分）
π×４²＝16π cm²
体積は、
16π cm² × 10 cm＝160π cm³
問題
下の図の円すいの表面積と体積をそれぞれ求めなさい。
表面積
＝底面の円＋側面のおうぎ形
底面積
π×９²＝81π cm²
側面積
①
おうぎ形の弧の長さ（底面の円周と同じ）
２π×９＝18π cm
②
おうぎ形の半径15cmの円周
２π×15＝30π cm
③
半径15cmの円の面積
π×15²＝225π cm²
④
おうぎ形は半径15cm円の18／30にあたる部分
225π cm² × 18／30
＝135π cm²
※底面の半径とおうぎ形の半径（母線）のみで、④の割合が求められる。
π×15² × 9／15
＝15π×９＝135π cm²
⑤
底面積＋側面積
81π ＋135π ＝216π cm²
別解
おうぎ形の面積は
「弧の長さ×母線×１／２」でも求められる
18π cm × 15cm × 1／2＝135π cm²
※弧の長さを求めるだけでよい
すいの体積
＝１／３× 底面積 × 高さ
1／3 × 81π × 12＝324π cm³
★高校入試・対策問題
問題
2024年・青森県立高校入試
下の図は、底面の半径が１cm、高さが２√２cmの円錐である。母線ＡＢの中点をＭとし、点Ｂから点Ｍまで、円錐の側面にそって母線ＡＣを通り、最も短くなるように糸をかける。あとの各問いに答えなさい。
１）母線ＡＢの長さを求めなさい。
２）この円錐の展開図をかいたとき、側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。
３）糸の長さを求めなさい。
１）
底面の円の中心を点Ｏとする
△ＡＯＢで、三平方の定理より、
ＡＢ²＝ＡＯ²＋ＯＢ²
ＡＢ²＝（２√２）²＋１²
ＡＢ²＝９
ＡＢ＝３cm（ＡＢ＞０）
２）
おうぎ形の弧の長さは、底面の円周に等しいから、
２π×１＝２π cm
母線ＡＢ＝３cmより、半径３cmの円周は、
２π×３＝６π cm
よって、
360°×２π／６π＝120°
別解
おうぎ形の中心角は、
「360° × 底面の半径／母線」で求められる
360°×１／３＝120°
３）
「最も短くなる」⇒展開図の糸は直線
ＭＢが直線になる👇
問題
下の図は、∠ＡＤＣ＝∠ＢＡＤ＝90°、ＡＢ＝２cm、ＡＤ＝ＤＣ＝４cm、ＡＥ＝３cmの四角柱ＡＢＣＤＥＦＧＨである。あとの各問いに答えなさい。
１）三角錐ＢーＦＧＨの体積を求めなさい。
２）四角錐ＨーＢＣＧＦの体積を求めなさい。
１）
底面を△ＦＧＨ、高さをＢＦとする。
底面積＝台形ＥＦＧＨー△ＨＥＦ
台形ＥＦＧＨ
＝（２＋４）×４×１／２
＝12cm²
△ＨＥＦ
＝１／２×２×４
＝４cm²
底面積は、12ー４＝８cm²
三角錐Ｂ－ＦＧＨの体積は、
１／３×８×３＝８cm²
２）
四角柱ＡＢＣＤＥＦＧＨから、底面△ＤＡＢ・高さＡＥとする三角柱の体積と、底面△ＤＢＣ・高さＤＨとする三角すいの体積とを引いて求める。
１）より四角柱の底面積は、12cm²
四角柱の体積は
１２×３＝３６cm³ ①
底面△ＤＡＢ・高さＡＥとする三角柱の体積
△ＤＡＢ＝１／２×２×４＝４cm²
三角柱の体積は、
４×３＝１２cm³ ②
底面△ＤＢＣ・高さＤＨとする三角すいの体積
△ＤＢＣ
＝台形ＡＢＣＤ－△ＤＡＢ
＝１２－４＝８cm²
三角すいの体積は、
１／３×８×３＝８cm³ ③
求める体積は、①ー②ー③より、
３６－１２－８＝１６cm³
👉相似比
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2025.1.23 平面図形と立体図形（中学数学 1/22授業解説）