中３数学　三平方の定理

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　新学期がスタートしました。新学期早々のこの時期、塾生たちは今年一年の土台づくりのため、前の学年の復習に取り組んでいます。中３数学では、三平方の定理の学習があります。中１・２年で学習するグラフや図形に応用されることが多く、中学３年間の集大成と言える学習内容になります。

問題

１）下の図のように、球Ｏを中心Ｏから４cmの距離にある平面で切ったとき、切り口の円の面積を求めなさい。

切り口の周上の点をＡ、切り口の中心をＯ’とする。

切り口の半径Ｏ’Ａの長さを求める。

△ＯＯ’Ａで三平方の定理より、

Ｏ’Ａ²＝ＯＡ²ーＯＯ’²

Ｏ’Ａ²＝６²ー４²

Ｏ’Ａ²＝２０

切り口の面積は、π×Ｏ’Ａ²だから、

π×２０＝２０π cm²

２）下の図のように、関数ｙ＝１ｘ²／４のグラフ上に２点Ａ、Ｂがある。Ａ、Ｂのｙ座標はどちらも１で、Ａのｘ座標は負である。また、点Ｃがｙ軸上にあり、ｙ座標はー３である。△ＡＢＣで、辺ＢＣを底辺とするときの高さを求めなさい。

辺ＡＢとｙ軸との交点をＤとする

ＣＤ＝１－（－３）＝４

ＡとＢのｘ座標を求める

ｙ＝１ｘ²／４に、ｙ＝１を代入

ｘ²＝４

ｘ＝±２

Ａのｘ座標はー２、Ｂのｘ座標は２だから、

ＡＢ＝２ー（－２）＝４

△ＡＢＣの面積は、

ＡＢ×ＣＤ×１／２

＝４×４×１／２

＝８

△ＢＣＤで三平方の定理より、

ＢＣ²＝ＣＤ²＋ＤＢ²

ＤＢ＝２だから

ＢＣ²＝４²＋２²

ＢＣ²＝２０

ＢＣ＝２√５（ＢＣ＞０）

点Ａからの垂線と辺ＢＣとの交点をＨとする（高さＡＨ）

△ＡＢＣの面積は８だから、

ＢＣ×ＡＨ×１／２＝８

２√５×ＡＨ×１／２＝８

√５ＡＨ＝８

ＡＨ＝８√５／５

よって、８√５／５

３）下の図で、①は関数ｙ＝１ｘ²／２のグラフであり、２点Ａ、Ｂは①上の点で、ｘ座標がそれぞれー６、２である。また、②は２点Ａ、Ｂを通る直線である。あとの問いに答えなさい。

１）関数ｙ＝１ｘ²／２について、ｘの値が４から８まで増加するとき、変化の割合を求めなさい。

２）点Ａのｙ座標を求めなさい。

１）

ｘの増加量　８－４＝４

ｙの増加量　８²／２ー４²／２＝24

変化の割合　24／４＝６

２）

点Ａは①上の点だから、

ｙ＝１ｘ²／２に、ｘ＝ー６を代入

ｙ＝３６／２＝１８

下の図は、上の図で、直線ＡＢとｘ軸との交点をＣとして、原点Ｏから線分ＡＣに垂線ＯＨをひいたものである。線分ＡＣの長さと、線分ＯＨの長さをそれぞれ求めなさい。

点Ｂのｙ座標を求める

ｙ＝１ｘ²／２に、ｘ＝２を代入

ｙ＝４／２＝２

直線ＡＢの式を求める

Ａ（ー６，18）　Ｂ（２，２）

ｘの増加量　２－（－６）＝８

ｙの増加量　２ー18＝ー16

変化の割合　ー16／８＝ー２

切片の値をｂとする

ｙ＝ー２ｘ＋ｂに、（２，２）を代入

ー４＋ｂ＝２

ｂ＝６

ＡＢの式は、ｙ＝ー２ｘ＋６

点Ｃのｘ座標を求める

点Ｃのｙ座標は０だから、

ｙ＝ー２ｘ＋６に、ｙ＝０を代入

ー２ｘ＋６＝０

ｘ＝３

点Ａからの垂線とｘ軸との交点をＤとする

Ａの座標は（ー６，18）だから、

ＡＤ＝18ー０＝18

ＤＣ＝３－（－６）＝９

△ＡＣＤで三平方の定理より、

ＡＣ²＝ＡＤ²＋ＤＣ²

ＡＣ²＝18²＋９²

ＡＣ²＝324＋81＝405

ＡＣ＝９√５

△ＡＯＣの面積を求める

ＯＣ＝３－０＝３、ＡＤ＝18より、

△ＡＯＣ

＝３×18×１／２

＝27

底辺をＡＣ、高さをＯＨとすると、

９√５×ＯＨ×１／２＝27

ＯＨ＝６√５／５

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今年度塾生28名（2025年4月現在）

塾生の声

苦手意識から「自信」へ

（中学３年）

　今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。

３年間の積み重ねで受験合格

（小学６年）

　４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。

苦手の克服が高得点に

（高校１年）

　苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。

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