中１数学　座標

　当ブログでは、授業のポイント解説をしています。

　新学期がスタートしました。新学期早々のこの時期、塾生たちは今年一年の土台づくりのため、前の学年の復習に取り組んでいます。中１数学では、比例と反比例のグラフの学習があります。座標点の見方や、座標を使った式の求め方を学習します。中２・中３での一次関数や二次関数の土台になります。

★比例・反比例（中１）

問題

下の図を見て、あとの各問いに答えなさい。

１）点Ａ、Ｂの座標を答えなさい。

２）①、②のグラフの式を求めなさい。

１）

点Ａは、ｘ＝３、ｙ＝－４

（ｘ座標が３、ｙ座標がー４）

よって、（３，－４）

点Ｂは、ｘ＝ー４、ｙ＝－５

（ｘ座標がー４、ｙ座標がー５）

よって、（ー４，－５）

２）

①は、原点（０，０）を通る直線だから、ｙ＝ａｘの比例式

（３，２）を通るから、ｘ＝３、ｙ＝２を代入

２＝３×ａ

３ａ＝２

ａ＝２／３

よって、ｙ＝２ｘ／３

②は、双曲線だから、ｙ＝ａ／ｘの反比例の式

（１，－４）を通るから、ｘ＝１、ｙ＝ー４を代入

ー４＝ａ／１

ａ＝ー４

よって、ｙ＝ー４／ｘ

★一次関数（中２）

問題

下の図の２直線ℓ、ｍの交点をＰとする。あとの各問いに答えなさい。

１）直線ℓ、ｍの式を求めなさい。

２）交点Ｐの座標を求めなさい。

３）直線ℓ、ｍとｘ軸との交点をそれぞれＡ、Ｂとして、△ＰＡＢの面積を求めなさい。

１）

解き方①

ℓの式

ｘ増加量：０－（－５）＝５

ｙ増加量：５－０＝５

傾き：５／５＝１

切片は５だから、

ｙ＝ｘ＋５

ｍの式

ｘ増加量：４－０＝４

ｙ増加量０－２＝ー２

傾き：ー２／４＝ー１／２

切片は２だから、

ｙ＝ー１ｘ／２＋２

解き方②

ℓの式

傾きをａとする。切片は５だから、

ｙ＝ａｘ＋５

（ー５，０）を通るから、ｘ＝ー５、ｙ＝０を代入

ａ＝１

よって、ｙ＝ｘ＋５

ｍの式

傾きをｃとする。切片は２だから、

ｙ＝ｃｘ＋２

（４，０）を通るから、ｘ＝４、ｙ＝０を代入

ｃ＝ー１／２

よって、ｙ＝ー１ｘ／２＋２

２）

１）の２式より、

ｘ＋５＝ー１ｘ／２＋２

２ｘ＋10＝ーｘ＋４

３ｘ＝ー６

ｘ＝ー２

ｙ＝ｘ＋５に、ｘ＝ー２を代入

ｙ＝ー２＋５＝３

よって、（ー２，３）

３）

底辺をＡＢ、高さを点Ｐからｘ軸までの距離（垂線）とする。

辺ＡＢ

４－（－５）＝９　←ｘ座標間

高さ

３－０＝３　←ｙ座標間

よって、△ＰＡＢの面積は、

１／２×９×３＝27／２

★二次関数（中３）

問題

下の図で、①は関数１ｘ²／４のグラフ、四角形ＡＢＣＤは長方形であり、辺ＡＢ、ＤＣはｙ軸に平行で、辺ＡＤ、ＢＣはｘ軸に平行である。また、２点Ｂ、Ｄは①のグラフ上にあり、点Ｂのｘ座標はー４、点Ｃのｘ座標は６である。あとの各問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さを１cmとする。

１）関数ｙ＝１ｘ²／４で、ｘの値が２から10まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

２）点Ｄの座標を求めなさい。

３）２点Ｂ、Ｄを通る直線の式を求めなさい。

４）長方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

１）

ｘの増加量は、10ー２＝８

ｙの増加量は、ｘ＝10のときｙ＝25、ｘ＝２のときｙ＝１だから、25ー1＝24

よって、変化の割合は、

24／８＝３

※変化の割合は、ｙの増加量／ｘの増加量で求められる。

２）

点Ｄのｘ座標は、点Ｃと同じ（ｘ＝６）

点Ｄはｙ＝１ｘ²／４の点だから、ｘ＝６を代入

ｙ＝36／4＝９

よって、（６，９）

※「座標を求めなさい」の場合は、（ｘ座標，ｙ座標）の形で表す。

３）

点Ｂのｙ座標を求める

点Ｂのｘ座標はー４、ｙ＝１ｘ²／４の点だから、ｘ＝ー４を代入

ｙ＝16／４＝４

Ｂ（ー４，４）　Ｄ（６，９）

ｘの増加量　６－（－４）＝10

ｙの増加量　９－４＝５

変化の割合（傾き）　５／10＝１／２

切片をｂとして、ｙ＝１ｘ／２＋ｂに、（ー４，４）を代入

４＝ー２＋ｂ

ｂ＝６

よって、ｙ＝１ｘ／２＋６

別解

２点の座標の値を、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入し、連立方程式で求める。

点Ｂの（ー４，４）を代入

ー４ａ＋ｂ＝４　①

点Ｄの（６，９）を代入

６ａ＋ｂ＝９　②

①ー②より、

ａ＝１／２、ｂ＝６

よって、ｙ＝１ｘ／２＋６

４）

たての長さをＡＢ、よこの長さをＢＣとする。

たての長さはｙ座標間の距離だから、９－４＝５cm

※点Ａのｙ座標はＤと同じ９、点Ｂは４

よこの長さはｘ座標間の距離だから、６－（－４）＝10cm

よって、５cm×10cm＝50cm²

※座標間の距離（長さ）は、大きい値ー小さい値で求められる。

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塾生の声

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（中学３年）

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