中学数学・２次方程式
「解は２つ」
中学２年・３年
１学期も後半を迎えていますが、中学２年・３年の塾生たちは、「２次方程式」を学習しています。
方程式には「解」があります。
３ｘ＝６を解くとｘ＝２ですが、答えとして出た"２"が、この方程式の「解」になります。
解（ｘ＝２）をもとの式に代入すると、
３ｘ＝６ → ３×２＝６
解が、左辺と右辺をイコールの関係にすることが分かります。
上の方程式のように、ｘの次数が１次（ｘ¹）の場合は、１次方程式といいます。また、ｘ²＝□のように、２次の場合には２次方程式といいます。
★２次方程式は、解が２つ
１次方程式 → 解が１つ
３ｘ＝６ → ｘ＝２
２次方程式 → 解が２つ
ｘ²＝４ → ｘ＝±２（+2と-2）
ｘ² ー３ｘ＋２＝０
（ｘ－１）（ｘ－２)＝０
ｘ＝１，２
３次方程式 → 解が３つ
ｘ³ - ２ｘ² - ｘ+２＝０
→(ｘ+１)(ｘ-１)(ｘ-２)＝０
ｘ＝ー１，１，２
方程式では、次数によって、解の個数が決まります。
２次方程式には、必ず２つの解があります。
★解き方は３つ
①平方根
ｘ²＝９
この式は、「９の平方根は？」と同じことを表しています。
２乗すると"９”になる数は、
（＋３）×（＋３）＝（＋３）²
（－３）×（ー３）＝（ー３）²
で、＋３ と ー３ の２つです。
よって、ｘ＝±３になります。
②因数分解
「＝０」にする（右辺を０）
ｘ²＝９
↓＋９を移項
ｘ²ー９＝０
↓因数分解
（ｘ＋３）（ｘー３）＝０
ｘ＝±３
右辺が０になるということは、
・（ｘ＋３）が０→ ０×（ｘ－３）＝０
・（ｘ－３）が０→ （ｘ＋３）×０＝０
・どちらも０→ ０×０＝０
となればよいので、
ｘ＋３＝０ ｘ＝－３
または
ｘ－３＝０ ｘ＝＋３
の２つの解になります。
③解の公式
ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０
ｘ＝ ーｂ± √ｂ²ー４ａｃ
２ａ
ｘ²ー３ｘ＋１＝０
ｘ＝ー(ー3)±√(ー3)²ー4×1×1
2×1
ｘ＝３±√５
２
★基本は因数分解
因数分解＝（かっこ）でくくる
ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０
①ａ＝１
ｃ：かけ算 ｂ：たし算
ｘ²＋８ｘ＋１２＝０
かけて「１２」
→１と１２、２と６、３と４
たして「８」
→２と６
（ｘ＋２）（ｘ＋６）＝０
ｘ²＋３ｘ＋２＝０
（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０
ｘ²ー３ｘ＋２＝０
（ｘ－１）（ｘ－２）＝０
ｘ²ー５ｘー６＝０
（ｘ＋１）（ｘ－６）＝０
ｘ²＋５ｘー６＝０
（ｘ－１）（ｘ＋６）＝０
ｘ²＋２ｘ＋１＝０
（ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０
（ｘ＋１）²＝０
ｘ²ー２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）（ｘ－１）＝０
（ｘ－１）²＝０
ｘ²ー４＝０
（ｘ＋２）（ｘ－２）＝０
※ｂ＝０（たして０）
②同じ文字でくくる
ｘ²＋２ｘ＝０
ｘ（ｘ＋２）＝０
この場合は、ｘ＝０またはｘ＋２＝０
ｘ＝０，ー２
５ｘ²ー１０ｘ＝０
５ｘ（ｘー２）＝０
この場合は、５ｘ＝０またはｘー２＝０
ｘ＝０，２
５ｘ²ー１０ｘ＝０
両辺を５で割る
ｘ²ー２ｘ＝０
ｘ（ｘー２）＝０
ｘ＝０，２
③因数が同じ
３ｘ²＋９ｘ＋６＝０
３（ｘ²＋３ｘ＋２）＝０
３（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０
４ｘ²ー３２ｘ＋６４＝０
両辺を４で割る
ｘ²ー８ｘ＋１６＝０
（ｘー４）²＝０
④たすきがけ
ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０
３ｘ²＋５ｘ＋２＝０
ａ：かけて「３」
ｃ：かけて「２」
ｂ：たして「５」
ａ ｃ ｂ
１ １ → ３
✖ ＋
３ ２ → ２
５
↓
１ｘ ＋１
３ｘ ＋２
３ｘ²＋５ｘ＋２＝０
（ｘ＋１）（３ｘ＋２）＝０
ｘ＝ー１，ー２／３
★解が１つだけの場合
ｘ²＋２ｘ＋１＝０
左辺を因数分解
↓
（ｘ＋１）²＝０ ｘ＝－１
このように、解が１つになる場合があります。
「２次方程式には、必ず２つの解がある」と説明しました。
（ｘ＋１）²＝０
↓
（ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０
つまり、同じ「ｘ＝ー１」が２つあることが分かります。これを数学の用語で「重解」といいます。
ｘ²ー２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）²＝０ ｘ＝１
４ｘ²ー３２ｘ＋６４＝０
両辺を４で割る
ｘ²ー８ｘ＋１６＝０
（ｘー４）²＝０ ｘ＝４
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