中学数学 入試対策
（12/7 授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/7）は、早朝から中学生に高校入試対策を行いました。苦手としている学習内容を一つでも多く克服しようと、連日受験生たちが対策に取り組んでいます。私立入試・高専入試まで２か月、県立入試まで３か月となります。
★二次関数の応用
問題
下の図において、放物線①、②はそれぞれ関数ｙ＝１ｘ²／４、ｙ＝ｘ²のグラフである。また、点Ａは②上のｘ＞０の範囲を動く点である。点Ａを通りｙ軸に平行な直線と①との交点をＢとし、点Ａを通りｘ軸に平行な直線と①との交点をＣとする。あとの各問いに答えなさい。
１）線分ＡＢ、ＡＣを２辺とする長方形ＡＢＤＣをつくる。点Ａのｘ座標をｔとするとき、
① 点Ｄのｘ座標、ｙ座標をそれぞれｔを使って表しなさい。
点Ａのｘ座標はｔ
ｙ＝ｘ²に代入 ｙ座標はｔ²
Ａ（ｔ，ｔ²）
点Ｃのｙ座標は、点Ａと同じ
ｙ＝１ｘ²／４に、ｙ＝ｔ²代入
ｔ²＝１ｘ²／４ ｘ座標は２ｔ
Ｃ（２ｔ，ｔ²）
点Ｄは、点Ｃのｘ座標と点Ｂのｙ座標と同じだから、
（２ｔ，１ｔ²／４）
② 長方形ＡＢＤＣが正方形となるようなｔの値を求めなさい。
ＡＢ＝ＢＤの関係となる
ＡＢ（ｙ座標間）
＝ｔ²ー１ｔ²／４
＝３ｔ²／４
ＢＤ（ｘ座標間）
＝２ｔ－ｔ
＝ｔ
ＡＢ＝ＢＤより、
３ｔ²／４＝ｔ
３ｔ²ー４ｔ＝０
ｔ（３ｔー４）＝０
ｔ＝０，４／３
よって、ｔ＝４／３
２）点（３，２）が長方形ＡＢＤＣの周上にあるときの、ｔの値をすべて求めなさい。
ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝３を代入すると、ｙ＝９／４となる。
よって、点（３，２）は、放物線①（ｙ＝１ｘ²／４）の外側の点である。
このことから、点（３，２）は、辺ＢＤ上と辺ＣＤ上に位置することになる。
辺ＢＤ上にあるとき、ｙ座標は２
ｙ＝１ｘ²／４にｙ＝２を代入すると、点Ｂのｘ座標（ｔの値）が求められる。
ｘ＝ｔ＝２√２（ｘ＞０）
辺ＣＤ上にあるとき、ｘ座標は３
ｙ＝１ｘ²／４にｘ＝３を代入すると、点Ａのｙ座標が求められる。このｙの値をｙ＝ｘ²に代入すると、点Ａのｘ座標（ｔの値）が求められる。
ｙ＝９／４
ｙ＝ｘ²に、ｙ＝９／４代入
ｘ＝ｔ＝３／２（ｘ＞０）
★反比例の応用
問題
下の図のように、ｙ＝１２／ｘのグラフ上に、点Ａ（１，１２）と点Ｂがあり、点Ｂのｘ座標は６である。あとの各問いに答えなさい。
１）直線ＡＢの方程式を求めなさい。
点Ｂのｘ座標６より、
ｙ＝１２／６＝２
Ｂ（６，２）
点ＡＢ間の変化の割合
ｘの増加量：６－１＝５
ｙの増加量：２－１２＝ー１０
よって、ー２
ｙ＝ー２ｘ＋ｂに、Ｂ（６，２）代入
ｂ＝１４
以上から、ｙ＝ー２ｘ＋１４
２）△ＯＡＢの面積を求めなさい。
ｙ＝ー２ｘ＋１４とｘ軸との交点をＤとする
点Ｄのｙ座標は０だから、
ー２ｘ＋１４＝０
ｘ＝７
Ｄ（７，０）
△ＯＡＢ＝△ＯＡＤ－△ＯＢＤ
△ＯＡＤ＝１／２×１２×７＝４２
△ＯＢＤ＝１／２×２×７＝７
△ＯＡＢ＝４２－７＝３５
３）２点Ａ、Ｂの間にある曲線ｙ＝１２／ｘ上の点と直線ＡＢ上の点で、ｘ座標、ｙ座標の値がともに整数である点はいくつあるか求めなさい。ただし、点Ａと点Ｂは除く。
ｘ＝２，３，４，５
ｙ＝１２／ｘ上
ｘの値をそれぞれ代入すると
（２，６）（３，４）（４，３）（５，12/5）
ｙ＝ー２ｘ＋１４上
ｘの値をそれぞれ代入すると
（２，10）（３，８）（４，６）（５，４）
よって、７個
★三平方の定理の応用
問題
下の図の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、点Ａから対角線ＢＤに垂線を引き、ＢＤとの交点をＨとする。ＡＢ＝５cm、ＢＨ＝４cm、ＨＤ＝６cmであるとき、対角線ＡＣの長さを求めなさい。
△ＡＢＨで、
ＡＨ²＋４²＝５²
ＡＨ²＝２５－１６
ＡＨ²＝９
ＡＨ＝３
対角線の交点をＯとする
ＢＤ＝１０より、ＯＢ＝５
ＯＨ＝ＯＢ－ＢＨ＝１
△ＡＯＨで、
ＡＯ²＝ＯＨ²＋ＡＨ²
ＡＯ²＝１²＋３²
ＡＯ²＝１０
ＡＯ＝√１０
対角線ＡＣ＝２ＡＯだから、
ＡＣ＝２√１０(cm)
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八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生33名（2024年12月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
（小学６年）
今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.12.8 中学数学 入試対策（12/7 授業解説）