三角形の相似
12/9 授業解説
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/9）は、小学生に国語の授業、中学生に数学、理科、公民の授業を行いました。中３数学の「相似」の問題で、３つ以上の三角形が含まれる問題図では、「対応する辺」の見つけ方がポイントになります。平行の関係など、問題文にある情報を正しく読み取ることがスタートラインになります。
★平行と相似
問題
直線ｐ、ｑ、ｒは平行。数値の単位はcmで、緑線は４．５cm。
ｑ//ｒ
２：４＝（4.5-ｘ）：ｘ
ｘ＝２（4.5-ｘ）
ｘ＝９－２ｘ
３ｘ＝９
ｘ＝３(cm)
ｐ//ｒ
ｙ：４＝（６＋1.5）：３
３ｙ＝３０
ｙ＝１０(cm)
★平行と相似・中点連結定理
問題
下の図のように、頂点Ｃが共通な２つの三角形ＡＢＣとＥＣＤがあり、点Ｂ、Ｃ、Ｄは一直線上にある。ＡＢ＝ＥＣ＝８cmとする。辺ＡＢ上に点ＰをＡＰ＝２cmとなるようにとり、線分ＰＤとＡＣの交点をＱとするとき、線分ＱＣの長さを求めなさい。
①△ＰＢＤ
ＰＤとＣＥの交点をＲとする
∠Ｂ＝∠ＲＣＤ＝60°
同位角が等しいから、ＲＣ//ＰＢ
↓
△ＰＤＢ∽△ＲＤＣ
ＰＢ＝８－２＝６
中点連結定理より、ＲＣ＝３
②△ＱＡＰと△ＱＣＲ
ＡＰ//ＲＣより、錯角・対頂角が等しいから、
△ＱＡＰ∽△ＱＣＲ
ＱＡ：ＱＣ＝ＰＡ：ＲＣ＝２：３
求めるＱＣをｘとすると、
２：３＝（８－ｘ）：ｘ
２ｘ＝２４－３ｘ
ｘ＝ＱＣ＝２４／５(cm)
問題
下の図で、点Ｄ、Ｅは辺ＢＣを３等分する点であり、ＦＤ//ＡＢ、ＧＥ//ＡＢとなるように辺ＡＣ上に２点Ｆ、Ｇをとる。ＡＥとＦＤの交点をＨとするとき、ＦＨの長さを求めなさい。
◎ポイント
問題文にある「＝」や「//」以外の、日本語の情報にも注目する。
数学の問題は、文や図にある情報をすべて使って解くようにできています。
例
「等分する～」
⇒それぞれの辺の長さが等しい
「平行四辺形がある」
⇒向かい合う辺の長さと角度が等しい
※ひし形、正方形も同じ
「正三角形がある」
⇒３つの辺と角度がすべて等しい
ＧＥ//ＡＢだから、
ＧＥ：ＡＢ＝ＣＧ：ＣＡ
ＧＥ：９＝１：３
ＧＥ＝３
ＦＨ//ＧＥだから、
ＦＨ：３＝１：２（中点連結定理）
ＦＨ＝３／２
★補助線を引いて相似を見る問題
問題
下の図のような四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝５cm、ＢＣ＝１２cm、ＡＦ＝ＦＣ、ＢＥ＝ＥＤであるとき、ＥＦの長さを求めなさい。
線分ＥＦの延長線とＤＣとの交点をＧとする
点ＥとＦはそれぞれＢＤとＡＣの中点で、ＡＤ//ＢＣだから、
ＦＧ＝１／２ＡＤ（中点連結定理）
ＦＧ＝５／２（2.5）
△ＤＢＣと△ＤＥＧで、中点連結定理より、
ＥＧ＝１／２ＢＣ
ＥＧ＝６
ＥＦ＝ＥＧ－ＦＧ
＝６－2.5＝3.5 (cm)
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八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生31名（2024年12月現在）
塾生の声
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数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
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2024.12.10 三角形の相似（12/9 授業解説）