- たむかい学習教室
- 3月7日
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更新日：4月2日
2025年 青森県立高校入試 数学解説
3月6日に青森県立高校の入学試験が行われました。当塾では、県立高校を第一志望とする中学３年生が多く、今年度は15名の塾生が挑戦しました。ここでは、数学の本試験問題について解説します。
2025年青森県立高校入試・数学
１）ア
ー11＋４＝ー７
イ
５×｛６²＋（１－７）｝
＝５×｛36＋（－６）｝
＝５×30
＝150
ウ
（５ｘ²ーｘ＋２）ー（３ｘ²＋ｘー５）
＝５ｘ²ーｘ＋２ー３ｘ²ーｘ＋５
＝２ｘ²ー２ｘ＋７
エ
12ｘ²ｙ÷（－２ｘ）÷３ｙ
＝ー６ｘｙ÷３ｙ
＝ー２ｘ
オ
４／√２＋３√８ー√18
＝２√２＋６√２ー３√２
＝５√２
配点
ア～オ：各３点（計15点）
２）
大人に配った枚数 ９ａ枚
子どもに配った枚数 ８ｂ枚
配った枚数の合計は150より少ないから、
９ａ＋８ｂ＜150
３）
以上～未満(g) 度数(個)
３～ ５ ３
５～ ７ 11
７～ ９ 12
９～ 11 ４
計30
７ｇ以上９ｇ未満の相対度数は、階級の度数÷合計で求められるから、
12÷30＝0.4（0.40でも正解）
４）
ｘ²ー３ｘ＋１＝０
解の公式より、
ｘ＝３±√９－４
２
ｘ＝３±√５
２
５）
２本のあたりくじ ①、②
３本のはずれくじ ３、４、５ とする
（Ａ、Ｂ）
（①、②）（①、３）（①、４）（①、５）
（②、①）（②、３）（②、４）（②、５）
（３、①）（３、②）（３、４）（３、５）
（４、①）（４、②）（４、３）（４、５）
（５、①）（５、②）（５、３）（５、５）
計20通りのうち、２通り
２／20＝１／10
６）
下図の通り、半直線ＢＦを引く。
ＢＤ＝ＢＥ、ＦＤ⊥ＡＢ、ＦＥ⊥ＢＣより、半直線ＢＦは、辺ＡＣの垂直二等分線になる。
このことから、△ＦＡＣは二等辺三角形である。
△ＦＣＥの内角と外角の関係より、
∠ＣＦＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＥＣＦ
∠ＣＦＥ＝90°ー44°＝46°
△ＦＡＣの内角と外角の関係より、
∠ＦＡＣ＋∠ＦＣＡ＝∠ＣＦＥ
ｘ＋ｘ＝46°
ｘ＝23°
７）
ア 表が３回出る場合（可能性）もある。〇
イ 必ずしも「表と裏が10回ずつ出る」とは限らない。✖
ウ 確率１／２だから、2000回×１／２＝1000回と予想できる。〇
エ 標本となる回数が多いほど、確率１／２に限りなく近い値が出る。〇
答え：イ
８）
ｘとｙは比例の関係だから、
ｙ＝ａｘに、ｘ＝30、ｙ＝24を代入
30ａ＝24
ａ＝４／５
ｙ＝４ｘ／５に、ｙ＝18を代入
４ｘ／５＝18
ｘ＝22.5
よって、22分30秒後
配点
2)～8)：各４点（計28点）
１）
直線ℓ上に、ＯＡ＝ＯＢ（半径）となる点Ｏをとる。
↓
線分ＡＢの垂直二等分線と直線ℓとの交点がＯになる。
２）
□の４すみの左上が一番小さい自然数である。
これをｎとすると、
右上 ｎ＋１
左下 ｎ＋14
右下 ｎ＋15
ＰーＱ＝14より、
（ｎ＋１）（ｎ＋14）ーｎ（ｎ＋15）
＝（ｎ²＋15ｎ＋14）ー（ｎ²＋15ｎ）
＝14
あ：ｎ＋１ い：ｎ＋14 う：ｎ＋15 え：ｎ²＋15ｎ
配点
１）：３点 ２）あ・い・う：各２点 え：３点（計12点）
１）ア
証明
△ＡＦＥと△ＤＥＢにおいて、
仮定より、
∠ＦＡＥ＝∠ＥＤＢ＝90° ①
ＡＥ//ＢＤより、錯角は等しいから、
∠ＡＥＦ＝∠ＤＢＥ ②
①、②より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＦＥ∽△ＤＥＢ
２）イ（ア）
ＡＣ＝６cmより、ＡＥ＝ＤＥ＝６cm
△ＡＦＥ∽△ＤＥＢより、
対応する辺の比は等しいから、
ＡＥ：ＤＢ＝ＡＦ：ＤＥ
６：９＝ＡＦ：６
２：３＝ＡＦ：６
ＡＦ＝４cm
２）イ（イ）
∠ＢＥＧ＝∠ＧＢＥだから、△ＧＢＥは二等辺三角形になる。
求めるＣＧの長さをｘcmとする。
ＢＣ
＝ＢＤ－ＣＤ
＝９－６＝3cm
ＢＧ
＝ＢＣ＋ＣＧ＝（３＋ｘ）cm
△ＥＧＤで、
ＥＧ＝ＢＧ＝（３＋ｘ）cm
ＧＤ
＝ＣＤーＣＧ
＝（６－ｘ）cm
三平方の定理より、
ＥＧ²＝ＧＤ²＋ＤＥ²
（３＋ｘ）²＝（６－ｘ）²＋６²
９＋６ｘ＋ｘ²＝36ー12ｘ＋ｘ²＋36
18ｘ＝63
ｘ＝７／２cm
２）ア
面ＡＢＣ、面ＤＥＦ
２）イ
△ＰＡＦと面ＡＤＦＣが垂直の関係であることを利用する。
下図の通り、△ＤＥＦ（手前）をＡＦ//ＰＥ’となるように移動させると、
△ＰＡＦと△Ｄ’Ｅ’Ｆは高さの等しい三角形になる。
△ＤＥＦで、
ＡＢ＝ＤＥ＝５cm
ＢＣ＝ＥＦ＝10cm
∠ＤＥＦ＝90°
以上から、三平方の定理より、
ＤＦ²＝ＤＥ²＋ＥＦ²
ＤＦ²＝５²＋10²
ＤＦ²＝125
ＤＦ＝５√５cm（ＤＦ＞０）
Ｅからの垂線と辺ＤＦとの交点をＨとする。
△ＤＥＦ
＝ＤＥ×ＥＦ×１／２
＝５×10×１／２＝25cm² ①
△ＤＥＦ
＝ＤＦ×ＥＨ×１／２
＝５√５×ＥＨ×１／２
＝５√５ＥＨ／２cm² ②
①＝②より、
５√５ＥＨ／２＝25
ＥＨ＝２√５cm
よって、△ＰＡＦの高さは２√５cm ③
△ＡＤＦで、三平方の定理より、
ＡＦ²＝ＡＤ²＋ＤＦ²
ＡＦ²＝10²＋（５√５）²
ＡＦ²＝225
ＡＦ＝15cm（ＡＦ＞０） ④
③、④より、△ＰＡＦの面積は、
15×２√５×１／２
＝15√５cm²
別解
Ｅからの垂線と辺ＤＦとの交点をＨ、ＤＨ＝ｘcmとする。
△ＥＤＨで、三平方の定理より、
ＥＨ²＝ＥＤ²ーＤＨ²
ＥＨ²＝５²ーｘ² ①
△ＥＦＨで、三平方の定理より、
ＥＨ²＝ＥＦ²ーＦＨ²
ＥＨ²＝10²ー（５√５ーｘ）² ②
①＝②より、
５²ーｘ²＝10²ー（５√５ーｘ）²
25ーｘ²＝100ー125＋10√５ｘーｘ²
10√５ｘ＝50
ｘ＝√５cm
①の式にｘ＝√５を代入
ＥＨ²＝５²ー√５²
ＥＨ²＝20
ＥＨ＝２√５cm（ＥＨ＞０）
よって、△ＰＡＦの高さは２√５cm ③
△ＡＤＦで、三平方の定理より、
ＡＦ²＝ＡＤ²＋ＤＦ²
ＡＦ²＝10²＋（５√５）²
ＡＦ²＝225
ＡＦ＝15cm（ＡＦ＞０） ④
③、④より、△ＰＡＦの面積は、
15×２√５×１／２
＝15√５cm²
配点
１）ア：4点 イ（ア）：3点 イ（イ）：4点
２）ア：2点 イ：4点（計17点）
１）
ｘ＝ー６のとき、
ｙ＝１×（ー６）²／４＝９
ｘ＝２のとき、
ｙ＝１×２²／４＝１
ー６≦ｘ≦２では、ｙの最小値は０だから、
０≦ｙ≦９
２）
直線ＡＢの式を求める
１）から、
Ａ（ー６，９） Ｂ（２，１）
ｘの増加量 ２－（－６）＝８
ｙの増加量 １－９＝ー８
傾き ー８／８＝ー１
切片の値をｂとする
ｙ＝ーｘ＋ｂに、（２，１）を代入
ー２＋ｂ＝１
ｂ＝３
直線ＡＢとｙ軸の交点をＣ（０，３）とする
△ＡＯＢ＝△ＡＯＣ＋△ＢＯＣとして求める
△ＡＯＣで、
底辺をＯＣ、高さをＡからｙ軸との距離とする。
△ＡＯＣ
＝３×６×１／２＝９cm² ①
△ＢＯＣで、
底辺をＯＣ、高さをＢからｙ軸との距離とする。
△ＢＯＣ
＝３×２×１／２＝３cm² ②
△ＡＯＢ＝①＋②より、
９＋３＝12cm²
３）ア
ｔ＝ー４より、Ｐのｙ座標は、
ｙ＝１×（ー４）²／４
ｙ＝４
Ｐ（ー４，４） Ｂ（２，１）
ｘの増加量 ２－（－４）＝６
ｙの増加量 １－４＝ー３
傾き ー３／６＝ー１／２
３）イ
ＱＨ＝４ＰＨより、ｘとｙの増加量の比は一定だから、直線ＰＱの傾きはー１／４
切片の値をｃとする
ｙ＝ー１ｘ／４＋ｃに、Ｂ（２，１）を代入
ー２／４＋ｃ＝１
ｃ＝３／２
直線ＰＱの式は、ｙ＝ー１ｘ／４＋３／２
点Ｐは①上の点だから、
ｙ＝１ｘ²／４に、ｘ＝ｔを代入
ｙ＝１ｔ²／４
ｙ＝ー１ｘ／４＋３／２に、ｘ＝ｔ、ｙ＝１ｔ²／４を代入
１ｔ²／４＝ー１ｔ／４＋３／２
ｔ²＋ｔー６＝０
（ｔ＋３）（ｔ－２）＝０
ｔ＜０より、ｔ＝ー３
別解
点Ｐは①上の点だから、
ｙ＝１ｘ²／４に、ｘ＝ｔを代入
ｙ＝１ｔ²／４
よって、ＰＨ＝１ｔ²／４cm
ＱＨ＝４ＰＨだから、
ＱＨ＝４×１ｔ²／４＝ｔ²
よって、Ｑのｘ座標は、ｔ＋ｔ²
直線ＰＱの式を求める
Ｐ（ｔ，１ｔ²／４）
Ｑ（ｔ＋ｔ²，０）
ｘの増加量 ｔ＋ｔ²ーｔ＝ｔ²
ｙの増加量 ０－１ｔ²／４＝－１ｔ²／４
傾き －１ｔ²／４÷ｔ²＝ー１／４
切片の値をｃとする
ｙ＝ー１ｘ／４＋ｃに、（２，１）を代入
ー１／２＋ｃ＝１
ｃ＝３／２
ｙ＝ー１ｘ／４＋３／２に、（ｔ＋ｔ²，０）を代入
ー（ｔ＋ｔ²）／４＋３／２＝０
ーｔーｔ²＋６＝０
ｔ²＋ｔー６＝０
（ｔ＋３）（ｔー２）＝０
ｔ＜０より、ｔ＝ー３
配点
１）：2点 ２）：3点 ３）ア：3点 ４）イ：4点（計12点）
１）
間違い
５²ーｘ²＝７²ー（６－ｘ）²
25ー49＝36ー12ｘ
正しい
５²ーｘ²＝７²ー（６－ｘ）²
25ーｘ²＝49ー（36ー12ｘ＋ｘ²）
25ーｘ²＝49ー36＋12ｘーｘ²
25ー49＝ー36＋12ｘ
答え
かっこをはずすときに、36とー12ｘの符号を変えていない。
（36ー12ｘ＋ｘ²）のそれぞれの項にー１をかけていない。
ＡＨの長さ
25ー49＝ー36＋12ｘ
12ｘ＝12
ｘ＝１
①の式ｈ²＝５²ーｘ²に代入
ｈ²＝５²ー１²
ｈ²＝24
ｈ＝２√６cm
よって、ＡＨ＝２√６cm
２）ア
△ＡＢＣの面積は、
14×12×１／２＝84cm²
84を素因数分解すると
２）84
２）42
３）21
７
２²×３×７
２）イ
△ＡＢＨで、三平方の定理より、
ＢＨ²＝ＡＢ²ーＡＨ²
ｘ²＝13²ー12²
ｘ²＝25
ｘ＝５cm（ｘ＞０）
△ＡＣＨで、三平方の定理より、
ＣＨ²＝ＡＣ²ーＡＨ²
ｙ²＝15²ー12²
ｙ²＝81
ｙ＝９cm（ｙ＞０）
よって、
ｘ－ｙ＝５－９＝ー４
２）ウ
下図の通り、ＣＤに補助線を引く。
Ｂ⌒Ｃに対する円周角だから、
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝60°
直径ＢＤに対する円周角だから、
∠ＢＣＤ＝90°
△ＤＢＣで、直角三角形の辺の比より、
ＢＤ：ＢＣ＝２：√３
４cm：ＢＣ＝２：√３
ＢＣ＝２√３cm
３）エ
下図の通り、ＢＣ上にＡＨ⊥ＢＣとなる点Ｈをとる。
直径ＢＤに対する円周角だから、
∠ＢＡＤ＝90°
Ａ⌒Ｂに対する円周角だから、
∠ＢＣＡ＝∠ＢＤＡ＝45°
△ＡＢＤで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＡＢ：ＢＤ＝１：√２
ＡＢ：４cm＝１：√２
ＡＢ＝２√２cm
ＢＨ＝ｘcm、ＣＨ＝ｙcmとする。
ＢＣ＝２√３cmより、
ｘ＋ｙ＝２√３ ①
△ＡＣＨは直角二等辺三角形だから、
ＡＨ＝ＣＨ＝ｙcm
△ＡＢＨで、三平方の定理より、
ＢＨ²＋ＡＨ²＝ＡＢ²
ｘ²＋ｙ²＝（２√２）² ②
①より、ｙ＝２√３ーｘ
②に代入
ｘ²＋（２√３ーｘ）²＝（２√２）²
ｘ²＋12ー４√３ｘ＋ｘ²＝８
２ｘ²ー４√３ｘ＋４＝０
ｘ²ー２√３ｘ＋２＝０
ｘ＝２√３±２
２
ｘ＝√３±１
ｘ＜ｙより、ｘ＝√３ー１cm
①に代入
√３ー１＋ｙ＝２√３
ｙ＝√３＋１cm
以上から、△ＡＢＣの面積は、
２√３×（√３＋１）×１／２
＝３＋√３cm²
別解
Ｂからの垂線とＡＣとの交点をＩとする
∠ＩＢＣ＝∠ＩＣＢ＝45°
△ＩＢＣで、直角二等辺三角形の辺の比より、
ＩＢ：ＢＣ＝１：√２
ＩＢ：２√３＝１：√２
ＩＢ＝√６cm ①
△ＢＡＩで、∠ＢＡＩ＝60°、∠ＡＢＩ＝30°
直角三角形の辺の比より、
ＡＩ：ＩＢ＝１：√３
ＡＩ：√６＝１：√３
ＡＩ＝√２cm
ＩＢ＝ＣＩ＝√６cmより、
ＡＣ＝ＡＩ＋ＣＩ
＝（√２＋√６）cm ②
①、②より、△ＡＢＣの面積は、
（√２＋√６）×√６×１／２
＝√３＋３ cm²
配点
１）：2点×2 ２）ア：2点 イ：3点 ウ：3点 エ：4点（計16点）
入試問題の分析
大問３の空間図形では、平面の垂直の関係から面積を求める出題があり、高さの等しい三角形を見出すところがポイントでした。今年度は、２次方程式を応用する出題が例年と比べて多いところが特徴です。
例年、大問５では、情報処理の力が求められる出題になっています。たくさんの情報から必要となる内容を整理して、筋道を立てて解いていく出題です。ある程度時間を要する出題になるので、前半の計算問題や基礎的問題では、計算処理のスピードも求められます。
数学の問題にはいろいろな解き方があります。解き方を丸写しするよりも、答えまでの道すじを一つ一つ押さえていくことが大切です。自分の中に解き方のバリエーションを増やしていくことで、処理能力を高めていくことができます。
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吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生28名（2025年3月現在）
塾生の声
苦手意識から「自信」へ
（中学３年）
今まで分からないことが多く、学校の授業についていけないことがあったり、テストで全く解けない問題もありましたが、先生から考え方や解き方を分かりやすく丁寧に教えてもらい、解ける問題が増えてテストの点数が大きく上がりました。この教室に通って、勉強に自信が持てるようになりました。
３年間の積み重ねで受験合格
（小学６年）
４年生の時から通い始めました。３年間の授業で、先生は分からない問題を理解しやすく、そしてやさしく教えてくれました。本当にこの塾で良かったと思っています。６年生の冬には、志望校の受験に合格することができました。一貫校に進むので、次は大学受験です。中学に上がっても、目標のためにこの塾で学んでいきます。
苦手の克服が高得点に
（高校１年）
苦手の英語を克服するために通い始めました。長文対策では、先生と一緒に音読練習や和訳などに繰り返し取り組み、テストでは高得点を取れるようになりました。通う前より、勉強の量だけでなく、勉強の質も上げることができました。他教科の苦手にも向き合って、「得意」に変えていけるよう、この教室で学習を続けていきたいです。
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2025.3.7 2025年 青森県立高校入試 数学解説