辺の長さと比
（中学数学 1/26授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
先週末は、受験の直前対策と学校の授業の復習を行いました。２学期後半から、各学年「図形」の学習に入っていますが、辺の長さや角度を求める問題では、三角形や四角形の性質を使って解くことになります。
★二等辺三角形の辺と角度
問題
下の図のように、辺ＡＥとＢＤが点Ｃで交わっており、ＡＢ＝ＡＣ、ＣＤ＝ＣＥである。∠ＢＡＣ＝44°のとき、∠ＣＤＥの大きさを求めなさい。
二等辺三角形⇒ 底角どうしが等しい
△ＡＢＣで、
∠ＡＢＣ＝（180°ー∠ＢＡＣ）÷２
∠ＡＢＣ＝（180°ー44°）÷２＝68°
三角形の内角と外角の関係より、
∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ
∠ＡＣＤ＝44°＋68°＝112°
△ＣＤＥで、内角と外角の関係より、
∠ＡＣＤ＝∠ＣＤＥ＋∠ＣＥＤ
ＣＤ＝ＣＥより、∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤだから、
∠ＣＤＥ＝∠ＡＣＤ÷２
よって、112°÷２＝56°
問題
下の図の△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形で、∠Ｂ＝65°である。点Ｄ、Ｅはそれぞれ辺ＡＢ、ＡＣ上の点で、点Ｆは直線ＢＣ、ＤＥの交点である。また、∠ＣＦＥ＝30°である。このとき、∠ＤＥＡの大きさを求めなさい。
∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝65°
△ＥＣＦで、内角と外角の関係より、
∠ＣＥＦ＋∠ＣＦＥ＝∠ＡＣＢ
∠ＣＥＦ＋30°＝65°
∠ＣＥＦ＝35°
対頂角は等しいから、∠ＣＥＦ＝∠ＤＥＡ
よって、∠ＤＥＡ＝35°
問題
下の図のように、長方形ＡＢＣＤを対角線ＡＣで折り、頂点Ｂが移動した点をＢ’、ＡＤとＢ’Ｃの交点をＥとする。このとき、△ＥＡＣが二等辺三角形であることを証明しなさい。
△ＡＢＣ≡△ＡＢ’Ｃより、
∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＡ ①
ＡＤ//ＢＣより、平行線の錯角は等しいから、
∠ＢＣＡ＝∠ＥＡＣ ②
①、②より、
∠ＥＣＡ＝∠ＥＡＣ
よって、△ＥＡＣは２角が等しくなるから、二等辺三角形である。
★平行四辺形の辺の長さ
問題
下の図のように、ＡＤ＝８cmの平行四辺形ＡＢＣＤがあり、周の長さは42cmである。∠ＢＡＤの二等分線と辺ＣＤとの交点をＥとする。このとき、線分ＣＥの長さを求めなさい。
平行四辺形⇒ 対辺の長さが等しく平行
ＡＤ//ＢＣより、平行線の錯角は等しいから、
∠ＤＥＡ＝∠ＥＡＤ
△ＤＡＥは２角が等しいから、ＤＡ＝ＤＥ＝８cmの二等辺三角形
求めるＣＥの長さをｘcmとする
ＡＢ＝ＤＥ＋ＣＥ
ＡＢ＝（８＋ｘ）cm
ＡＢ＝ＤＣ、ＡＤ＝ＢＣより、
ＡＢ×２＋ＡＤ×２＝42
（８＋ｘ）×２＋８×２＝42
16＋２ｘ＋16＝42
２ｘ＝10
ｘ＝５cm
★三平方の定理・相似比
問題
下の図のように、円Ｏの周上に４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、ＤＡ＝ＤＣである。線分ＡＣは円Ｏの直径で、ＡＣとＤＢの交点をＥとする。あとの各問いに答えなさい。
１）△ＡＥＤ∽△ＢＥＣであることを証明しなさい。
２）ＡＯ＝４cm、ＡＥ＝６cmであるとき、次の問いに答えなさい。
ア 線分ＤＥの長さを求めなさい。
イ △ＢＥＣの面積を求めなさい。
１）
△ＡＥＤと△ＢＥＣで、
Ｃ⌒Ｄに対する円周角だから、
∠ＤＡＥ＝∠ＣＢＥ ①
対頂角は等しいから、
∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＣ ②
①、②から、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＥＤ∽△ＢＥＣ
２）ア
直径ＡＣに対する円周角だから、∠ＡＤＣ＝90°
ＤＡ＝ＤＣより、∠ＤＡＯ＝45°
△ＤＡＯは、ＡＯ＝ＤＯの直角二等辺三角形だから、ＤＯ＝４cm
△ＤＥＯで、
ＥＯ＝ＡＥ－ＡＯ＝２cm、∠ＤＯＥ＝90°
三平方の定理より、
ＤＥ²＝ＤＯ²＋ＥＯ²
ＤＥ²＝４²＋２²
ＤＥ²＝20
ＤＥ＝２√５cm（ＤＥ＞０）
２）イ
△ＡＥＤの面積は、
１／２×ＡＥ×ＤＯ
＝１／２×６×４＝12cm²
△ＡＥＤ∽△ＢＥＣだから、
ＤＥ：ＣＥ
＝２√５：２＝√５：１
面積比は、相似比の２乗だから、
△ＡＥＤ：△ＢＥＣ＝５：１
求める△ＢＥＣの面積をｘcm²とする
12：ｘ＝５：１
ｘ＝12／５ cm²
★辺の比と面積（三角形の合同）
問題
下の図のような、長方形ＡＢＣＤがある。辺ＡＤ上に点Ｅをとり、点ＢからＣＥにひいた垂線と線分ＣＥとの交点をＦとすると、ＣＦ＝ＥＤとなった。あとの各問いに答えなさい。
１）△ＢＣＦと△ＣＥＤが合同であることを証明しなさい。
２）長方形ＡＢＣＤの面積が30cm²、ＢＣ：ＥＦ＝５：１のとき、四角形ＡＢＦＥの面積を求めなさい。
１）
△ＢＣＦと△ＣＥＤにおいて、
仮定より、
ＣＦ＝ＥＤ ①
∠ＢＦＣ＝90° ②
四角形ＡＢＣＤは長方形だから
∠ＣＤＥ＝90° ③
②、③から
∠ＢＦＣ＝∠ＣＤＥ ④
ＡＤ//ＢＣより、平行線の錯角は等しいから
∠ＢＣＦ＝∠ＣＥＤ ⑤
①、④、⑤から
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＢＣＦ≡△ＣＥＤ
２）
△ＢＥＡと△ＢＥＦで、
１）より、ＢＣ＝ＣＥ
ＢＣ：ＥＦ＝５：１より、
ＣＦ：ＥＦ＝４：１
ＥＦ＝ＣＦ×１／４ ①
ＣＦ＝ＥＤより、
ＥＤ：ＡＥ＝４：１
ＡＥ＝ＥＤ×１／４＝ＣＦ×１／４ ②
①、②より、ＥＦ＝ＡＥ ③
ＢＥ＝ＢＥ（共通な辺） ④
③、④より、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから、
△ＢＥＡ≡△ＢＥＦ
△ＢＣＥで、ＣＦ：ＥＦ＝４：１より、
△ＢＣＦ：△ＢＥＦ＝４：１
※高さが等しい三角形⇒ 底辺比＝面積比
△ＡＥＢ＝△ＢＥＦ、△ＢＣＦ＝△ＣＥＤより、
△ＡＥＢ＋△ＢＥＦ：△ＢＣＦ＋△ＣＥＤ＝２：８
以上から
四角形ＡＢＦＥ（△ＡＥＢ＋△ＢＥＦ）は、長方形の２／10（＝１／５）の面積となる。
よって、
30×１／５＝６cm²
★平行線と三角形の相似
問題
下の図の△ＡＢＣにおいて、Ｄ、Ｅはそれぞれ辺ＡＢ、ＡＣ上の点で、ＤＥ//ＢＣ、ＡＤ：ＤＢ＝２：１である。△ＡＤＥの面積が12cm²のとき、△ＡＢＣの面積は何cm²か、求めなさい。
ＤＥ//ＢＣより、同位角は等しいから、
∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ
∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ
よって、△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ
対応する辺の比は等しいから、
ＡＤ：ＡＢ＝２：３
※ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ
面積比は、相似比の２乗だから、
△ＡＤＥ：△ＡＢＣ＝４：９
求める△ＡＢＣの面積をｘcm²とする
12：ｘ＝４：９
３：ｘ＝１：９
ｘ＝27cm²
問題
下の図のように、ＡＢ＝10cmの平行四辺形ＡＢＣＤがある。辺ＡＢ上に、ＡＥ＝４cmとなる点Ｅをとり、線分ＥＣをひく。線分ＥＣと対角線ＢＤとの交点をＦとし、点Ｆを通って辺ＢＣに平行な直線と辺ＡＢとの交点をＧとする。このとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。
△ＢＥＦと△ＤＣＦで、
平行線の錯角は等しいから、
∠ＥＢＦ＝∠ＣＤＦ
対頂角は等しいから、
∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＣ
よって、△ＢＥＦ∽△ＤＣＦ
対応する辺の比は等しいから、
ＥＦ：ＣＦ＝ＢＥ：ＤＣ
ＢＥ：ＤＣ＝６：10＝３：５
ＥＦ：ＣＦ＝３：５
△ＥＧＦと△ＥＢＣで、
ＧＦ//ＢＣより、同位角は等しいから、
∠ＥＧＦ＝∠ＥＢＣ
∠ＥＦＧ＝∠ＥＣＢ
よって、△ＥＧＦ∽△ＥＢＣ
対応する辺の比は等しいから、
ＥＧ：ＥＢ＝ＥＦ：ＥＣ＝３：８
※ＥＣ＝ＥＦ＋ＣＦ
求めるＥＧの長さをｘcmとする
ｘcm：６cm＝３：８
ｘ：３＝３：４
ｘ＝９／４cm
問題
下の図において、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であり、点Ｅは辺ＡＤの中点である。また、点Ｆは辺ＢＣ上の点で、ＢＦ：ＦＣ＝３：１、点Ｇは辺ＣＤ上の点で、ＣＧ：ＧＤ＝２：１である。線分ＢＧと線分ＥＦとの交点をＨとするとき、線分ＢＨと線分ＨＧの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
半直線ＡＤと半直線ＢＧとの交点をＩとする
ＡＤ//ＢＣより、
ＢＧ：ＩＧ＝ＣＧ：ＧＤ＝２：１
ＢＧ＝２／３×ＢＩ ①
ＢＨ：ＩＨ＝ＢＦ：ＩＥ＝３：４ ※
ＢＨ＝３／７×ＢＩ ②
①、②より
ＢＧ：ＢＨ＝２／３：３／７
ＢＧ：ＢＨ＝14：９
ＨＧ＝ＢＧ－ＢＨより、
ＢＨ：ＨＧ＝９：５
※
△ＢＣＧ∽△ＩＤＧ
ＣＧ：ＧＤ＝２：１より、
ＢＣ：ＩＤ＝２：１ ①
①とＡＥ＝ＤＥより、ＢＣ＝ＩＥ ②
ＢＦ：ＦＣ＝３：１より、ＢＣ＝４
②より、
ＢＦ：ＢＣ＝ＢＦ：ＩＥ＝３：４
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2025.1.27 辺の長さと比（中学数学 1/26授業解説）