相似の面積と体積
（12/4 授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/4）は、小学生に算数、中３の生徒に数学、英語の授業を行いました。３年数学の授業では、「相似」に関する質問がよくあります。相似をもとにした面積や体積の求め方について、いくつか解説していきます。
★相似の面積比
比例式のつくりかた
問題
相似な２つの三角形Ｐ、Ｑがあり、その相似比は４：５である。
１）Ｐの面積が３２cm²のとき、Ｑの面積は何cm²か。
相似比＝長さの比
面積比は、相似比の２乗
△Ｐ：△Ｑ＝４²：５²
４²：５²＝３２：△Ｑ
１６：２５＝３２：△Ｑ
１：２５＝２：△Ｑ
△Ｑ＝５０cm²
２）Ｑの面積が７５cm²のとき、Ｐの面積は何cm²か。
４²：５²＝△Ｐ：７５
１６：２５＝△Ｐ：７５
１６：１＝△Ｐ：３
△Ｐ＝４８cm²
★相似の体積比
問題
半径が３cmの球Ａと４cmの球Ｂがある。球Ｂの体積は球Ａの体積の何倍か。
半径の比（長さの比）＝相似比
体積比は、相似比の３乗
球Ａ：球Ｂ＝３³：４³
球Ａ：球Ｂ＝27：64
よって、
64÷27＝64/27 倍
「体積は何倍？」の問題は、比の値をそのまま使って求める。
「〇は、□の何倍？」は、〇÷□で求める。
★相似な立体の面積比と体積比
問題
相似な２つの円錐Ｐ、Ｑがあり、Ｐの高さは１０cm、Ｑの高さは４cmである。
１）ＰとＱの底面の半径の比を求めなさい。
高さの比＝半径の比
相似であれば長さの比は同じ
Ｐの高さ：Ｑの高さ＝１０：４
Ｐの半径：Ｑの半径＝１０：４＝５：２
２）ＰとＱの表面積の比を求めなさい。
面積比は、長さの比（相似比）の２乗
Ｐの表面積：Ｑの表面積
＝５²：２²
＝２５：４
３）Ｑの体積が２４πcm³のとき、Ｐの体積を求めなさい。
体積比は、長さの比（相似比）の３乗
Ｐの体積：Ｑの体積
＝５³：２³
＝１２５：８
求めるＰの体積をｘとする
１２５：８＝ｘ：２４π
１２５：１＝ｘ：３π
ｘ＝３７５π（cm³）
★平行四辺形と三角形の相似
問題
下の図の四角形ＡＢＣＤは、平行四辺形、点Ｆは辺ＡＤを２：３に分ける点で、点Ｅは直線ＡＢと直線ＦＣの交点である。このとき、台形ＡＢＣＦの面積は△ＣＤＦの面積の何倍か。
◎ポイント
「平行四辺形」は平行な線が２つ
→同位角や錯角から相似を見つける
相似比が分かると、面積比が分かる
ＥＢ//ＤＣより、
∠ＥＡＦ＝∠ＣＤＦ（錯角）
∠ＡＥＦ＝∠ＤＣＦ（錯角）
２組の角が等しいから
△ＥＡＦ∽△ＣＤＦ
※対頂角も等しい
↓
ＡＦ：ＤＦ＝２：３だから
△ＥＡＦ：△ＣＤＦ＝４：９
ＡＦ//ＢＣより、
∠ＥＡＦ＝∠ＥＢＣ（同位角）
∠ＥＦＡ＝∠ＥＣＢ（同位角）
２組の角が等しいから
△ＥＡＦ∽△ＥＢＣ
※∠Ｅも共通の角で等しい
↓
ＡＦ：ＢＣ＝２：５だから
△ＥＡＦ：△ＥＢＣ＝４：２５
台形ＡＢＣＦ
＝△ＥＢＣー△ＥＡＦ
＝２５－４＝２１
台形ＡＢＣＦ÷△ＣＤＦ
＝２１÷９
＝７／３（倍）
問題
下の図で△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形であり、Ｄ、Ｅはそれぞれ辺ＡＢ、ＡＣ上の点で、ＤＥ//ＢＣである。また、Ｆ、Ｇはそれぞれ∠ＡＢＣの二等分線と、辺ＡＣ、直線ＤＥとの交点である。ＡＢ＝１２cm、ＢＣ＝８cm、ＤＥ＝２cmのとき、線分ＤＧの長さを求めなさい。
◎ポイント
・平行な線
→同位角や錯角から相似を見つける
・二等辺三角形
→底角が等しい
ＤＥ//ＢＣより、ＤＧ//ＢＣ
錯角が等しいから、
∠ＣＢＧ＝∠ＢＧＤ ①
ＢＧは∠Ｂの二等分線だから、
∠ＣＢＧ＝∠ＤＢＧ ②
①・②より、
∠ＢＧＤ＝∠ＤＢＧ ←△ＤＢＧの底角が等しい
△ＤＢＧは二等辺三角形だから、
ＤＢ＝ＤＧ
↓
△ＡＤＥ∽△ＡＢＣだから、ＤＢを求める。
相似の関係から、
ＡＤ：２＝１２：８
ＡＤ＝３cm
ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ
＝１２－３＝９cm
ＤＢ＝ＤＧだから、ＤＧ＝９cm
入試対策
★関数の問題
問題
次のア～エの中で、ｙがｘの一次関数であるものをすべて選びなさい。
ア：１辺の長さがｘcmである立方体の体積ｙcm³
イ：面積が50cm²である長方形のたての長さｘcmと横の長さｙcm
ウ：半径がｘcmである円の周の長さｙcm
エ：５％の食塩水ｘgに含まれる食塩の量ｙg
ア
立方体の体積＝1辺×1辺×1辺
ｙ＝ｘ×ｘ×ｘ
ｙ＝ｘ³（三次関数）
イ
長方形の面積＝たての長さ×横の長さ
ｘ×ｙ＝５０
ｘｙ＝５０
ｙ＝５０／ｘ（反比例）
ウ
円周の長さ＝２π×半径の長さ
ｙ＝２π×ｘ
ｙ＝２πｘ（比例・一次関数）
エ
パーセント濃度＝溶質÷水溶液×100
ｙ÷ｘ×100＝５
100ｙ＝５ｘ
ｙ＝１ｘ／２０（比例・一次関数）
★規則性の問題
問題
いくつかの碁石を、縦と横が等間隔となるように置き、正方形の形に並べることを考える。次の図のように、最初に黒い石を４つ並べて1番目の正方形とし、その外側に白い石を並べて２番目の正方形をつくる。次に内側の黒い石を取り、いくつかの黒い石を加えて外側に並べ、３番目の正方形をつくる。このように、３番目以降は、内側の石を取り、その石と同じ色の石をいくつか加えて外側に並べ、次の正方形をつくっていく。あとの各問いに答えなさい。
１）４番目の正方形をつくったとき、外側に並んでいる白い石の個数を求めなさい。
外側に並ぶ個数
１番目： ４個
２番目：１２個
３番目：２０個
８個ずつ増えるから、２８個
２）ｎ番目の正方形をつくったとき、外側に並んでいる石の個数を、ｎを用いた式で表しなさい。
８個ずつ増える⇒８ｎ
１番目が４個となるから、
８ｎ－４
３）黒い石と白い石が、それぞれ300個ずつある。これらの石を使って図のように正方形をつくっていったところ、何番目かの正方形をつくったときに、どちらかの色の石をちょうど使い切ることができ、もう一方の色の石は、いくつかが使われずに残った。このとき、
①どちらかの色の石をちょうど使い切ったのは、何番目の正方形をつくったときか。
②使われずに残った石について、その石の色と残った個数をそれぞれ求めなさい。
①
外側に並ぶのは、白か黒のどちらかになる。
これをすべて使い切るから、
２）の式より
８ｎー４＝３００
ｎ＝３８番目
②
使い切ったのは３８番目で、偶数番目になる。
よって、外側に並ぶのは「白」
内側は、300個より８個少ない
外側 内側
１番目 ●４個 〇０個
２番目 〇８個 ●４個
３番目 ●12個 〇８個
・
・ 外側 内側
38番目 〇300個 ●292個
300個全部が使われずに残ったのは「黒」
300ー292＝８
黒色が８個残った
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2024.12.5 相似の面積と体積（12/4 授業解説）