文章題と方程式のつくり方
（12/2 授業解説）
当ブログでは、授業のポイント解説をしています。
昨日（12/2）は、中２・中３の生徒に数学の授業を行いました。学期末の実力テスト（模試）を終えた学校が多く、その解説指導を中心に行いました。１年生から３年生まで、毎回のテストでは必ず、問題文から方程式を組み立てる出題があります。文の中にある情報を正しく読み取ることが、正解を出すことにつながります。
★２けたの整数の「入れかえ」
問題
２けたの正の整数があり、十の位と一の位の数の和は１２である。十の位の数と一の位の数を入れかえてできる２けたの数は、もとの整数より１８大きくなる。もとの整数を求めなさい。
◎文ごとの意味を確認する
①「十の位と一の位の数の和」
「和」：たし算
位の数を足して１２になる２けた
「３９か９３」「４８か８４」「５７か７５」「６６」
例
「３９」：３＋９＝１２
「５７」：５＋７＝１２
②「十の位の数と一の位の数を入れかえてできる２けたの数」
例
もとの数３９→入れかえた数「９３」
もとの数５７→入れかえた数「７５」
◎位の数は「文字」を使う
３９の場合
十の位が３、一の位が９
（10が３コ、1が９コ）
１０×３＋１×９＝３９
↓
求める２けたの数
十の位をｘ、一の位をｙ
（10がｘコ、1がｙコ）
１０×ｘ＋１×ｙ
＝１０ｘ＋ｙ もとの数
位の数を入れかえた２けたの数
十の位がｙ、一の位がｘ
１０×ｙ＋１×ｘ
＝１０ｙ＋ｘ 入れかえた数
◎文をもとに式をつくる
①「十の位と一の位の数の和は１２」
もとの数
ｘ＋ｙ＝１２・・①
②「十の位の数と一の位の数を入れかえてできる２けたの数は、もとの整数より１８大きい」
入れかえた数は（＝）、もとの数より１８大きい（＋１８）
１０ｙ＋ｘ＝１０ｘ＋ｙ＋１８
ー９ｘ＋９ｙ＝１８・・②
②÷９より、
ｘ＋ｙ＝１２
＋）ーｘ＋ｙ＝ ２´
２ｙ＝１４
ｙ＝７
①にｙ＝７代入 ｘ＝５
よって、もとの整数は５７
※入れかえた７５＝もとの５７＋１８
★辺の長さについての方程式
問題
下の図のように、底面の半径が６cm、高さがｈcmの円柱がある。半径５cmの球の表面積とこの円柱の表面積が等しくなるとき、ｈの値を求めなさい。
①円柱の表面積
底面の半径が６cm、高さがｈcm
底面と側面に分ける（展開図で）
底面積：π×６²＝３６π
２つ分：３６π×２＝７２π
側面積「側面は長方形」
たて：ｈcm 高さと同じ
よこ：１２πcm 円周と同じ
ｈ×１２π＝１２πｈ
↓
円柱の表面積：７２π＋１２πｈ
②球の表面積
半径５cm
球の表面積の公式：４πｒ²
４π×５²＝１００π
「球と円柱の表面積が等しい」
７２π＋１２πｈ＝１００π
１２πｈ＝２８π
１２ｈ＝２８
ｈ＝７／３
★面積についての二次方程式
問題
下の図のように、縦が１０ｍ、横が１２ｍの長方形の土地に一定の幅の道を縦と横につくって、残りの土地を花だんにする。花だんの部分の面積の和を８０ｍ²にするには、道幅を何ｍにすればよいか。
解き方①
縦道の面積
たて：10m、よこ：ｘm
10×ｘ＝10ｘ(m²)
横道の面積
たて：ｘm、よこ：12m
ｘ×12＝12ｘ(m²)
重なる面積
たて：ｘm、よこ：ｘm
ｘ×ｘ＝ｘ²(m²)
↓
道全体の面積
10ｘ＋12ｘーｘ²
花だんの面積＝80
長方形の面積ー道の面積＝80
(10×12)ー(10ｘ＋12ｘーｘ²)＝80
120ー10ｘー12ｘ＋ｘ²ー80＝0
ｘ²ー22x＋40＝0
(ｘー2)(ｘー20)＝0
ｘ＝2，20
問題に合うのは２ｍ
解き方②
右図のように、縦道と横道を長方形のはじに移動させる。
花だんのたての長さ
１０ーｘ
花だんのよこの長さ
１２－ｘ
花だんの面積＝80
花だんのたて×花だんのよこ＝80
(10－ｘ)(12－ｘ)＝80
(ｘ－10)(ｘ－12)＝80
ｘ²－22ｘ＋120－80＝0
ｘ²ー22x＋40＝0
(ｘー2)(ｘー20)＝0
ｘ＝2，20
問題に合うのは２ｍ
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「できる問題が増え勉強に自信がついたようで、期待感があります」
「苦手だった英語と数学が伸び始めたので、正直ホッとしています」
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合格実績（開塾２年 2023-24）
八戸高 八戸東高 八戸北高 八戸西高 国立八戸高専 八戸工業高 八戸商業高 八戸工業大学第二高 千葉学園高 八戸聖ウルスラ学院・英語科
八戸聖ウルスラ学院中学 八戸工大二高附属中学
指導実績
八戸市立第一中 第二中 第三中 長者中 根城中 白山台中 白銀中 鮫中 大館中 東中 下長中 北稜中 是川中 南浜中 明治中 中沢中 工大二高附属中 階上中
八戸東高 八戸北高
吹上小 中居林小 柏崎小 長者小 根城小 新井田小 旭ヶ丘小 西園小 南郷小
今年度塾生33名（2024年12月現在）
塾生の声
「苦手意識が ”自信” に変わりました」
（中学３年）
数学と理科に苦手意識がありました。この教室に通い始めてからは、先生が分かりやすく楽しく授業をしてくださるので、前よりも色々な問題を解くことができるようになりました。分かることが増えていくので家庭学習もはかどっています。苦手意識が「できる自信」に変わり、この教室に通って本当によかったです。
「体験学習から受験合格へ」
（小学６年）
今まで自分に合う学習のしかたが分からなくてなやんでいたけれど、体験学習に来てみるとそれが解決できたのでうれしかったです。中学受験に向けてむずかしい学習もあったけれど、いろいろな考え方を学ぶことができて、のびのびと勉強できるようになり、受験にも合格することができました。
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2024.12.3 文章題と方程式のつくり方（12/2 授業解説）